どうやって良いのかわからず困っています。
宜しくお願い致します。
E:Banach空間
N:Eの閉部分空間
π:E→E/N
∥π(ξ)∥≦∥ξ∥⇒商写像は連続
ここで、連続というのは下記が成り立っていること
∀ξ∈E ∀ε>0 ∃δ>0 ∀ξ'∈E
∥ξ-ξ'∥<δ ⇒ ∥π(ξ)-π(ξ')∥<ε
このδをεを使って表せ。
※
これを考えるために、簡単なので考えてみようと
f(x)=x^2
∀x∈R ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x'∈R
|x-x'|<δ ⇒ |f(x)-f(x')|<ε
これでδをεであらわそうと考えたのですが
やはりどうやってよいのかわかりませんでした。
ご教授宜しくお願い致します。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
こんばんは。
∥ξ+N∥=inf{∥ξ+η∥|η∈N} (ξ∈E)
これが、きちんと理解できていればπの連続はすぐに示せます。
∀ξ,ξ'∈E に対して
∥π(ξ)-π(ξ')∥=inf{∥ξ-ξ' +η∥|η∈N}
≦∥ξ-ξ'∥ (∵inf の定義)
ですから、任意のεに対してδ=εとすれば、
∥π(ξ)-π(ξ')∥≦∥ξ-ξ'∥<δ
つまり、∥ξ-ξ'∥<δ ⇒ ∥π(ξ)-π(ξ')∥<ε
となって、πの連続性が示せます。
※ノルム空間においては、∥π(ξ)∥≦∥ξ∥が連続性の定義と同値な関係です。ですから、#2さんも指摘していらっしゃるように
∥π(ξ)∥≦∥ξ∥⇒商写像は連続
で、連続性は示されているようなものです。ですが、このことを明らかですと回答しても質問者さんは理解できないと思いましたので、E/Nのノルムの定義に基づいて連続性を示しました。
大変よくわかりました。
ありがとうございます!!
おっしゃる通り、よく「明らかです」と書かれているのが
やはりちゃんと理解してないので明らかではなかったので
助かりました。
No.2
- 回答日時:
ええと。
「∥π(ξ)∥≦∥ξ∥⇒商写像は連続」
を示すんですよね?
πは線形だから、その前提 ∥π(ξ)∥≦∥ξ∥ から連続であることは明らかなように見受けられますが。
# バナッハ空間とかもはや覚えてないので、大きく間違えているかも。。。
おっしゃる通り明らかなのですが、
そこがどうして明らかなのか理解不足でわからず
質問させていただきました。
εとδの関係せいがよくわかっていないみたいです、
すいません。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 物理の惑星の問題 2 2023/03/21 18:51
- 数学 f(x)=x^2 , x∈I=[ー1, 1]において、 f(x)は区間Iで一様連続か?という(証明) 2 2022/09/02 14:15
- その他(教育・科学・学問) 関数、写像について 1 2022/04/10 23:45
- 数学 次の解析学の問題がわからないので教えて頂きたいです。 k>0 関数f(x)が区間[0,∞)で連続であ 3 2022/11/17 20:52
- 数学 代数学 環 1 2022/10/12 17:29
- 数学 集合と論理について 2 2023/01/08 05:52
- 数学 次の解析学の問題が解けないので教えていただきたいです。 関数f(x),g(x)がそれぞれ区間I,Jで 2 2022/11/17 20:50
- 数学 関数f(x)が閉区間[a、b]で連続で開区間(a、b)で微分可能なら f(b)-f(a)/b-a = 1 2023/07/19 17:26
- 数学 分からない課題で困っています。 どなたか、教えてください。 変数多項式環R[x]からRに対して φ: 2 2022/07/06 11:28
- 数学 微分の意味ついて質問が有ります 4 2023/04/05 23:17
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
外イキはなぜ1回しか出来ないの...
-
写真の近傍系の説明で「空間E上...
-
エクセルで同じ文字が3連続して...
-
隔年と毎年の違いを教えてくだ...
-
ジャンケン連勝世界記録
-
1日あける 一日置き 違いは何で...
-
連続する3つの整数の積が6の倍...
-
連続4整数
-
「区分的に連続」と「区分的に...
-
自動紙送り装置
-
無理数は連続ですか?
-
連続点灯時間とは
-
AMDのCPUコアが、連続稼働でハ...
-
「Newton」7月号特集記事
-
連続する2整数が互いに素(最大...
-
数列の問題で 階段の登り方の漸...
-
筋トレの日焼けについて エニタ...
-
同じものを含む順列
-
x^2sin(1/x) と 0(x=0) での連続性
-
4期連続赤字とは?
おすすめ情報