以下の問題がわかりません。
どなたか簡単な解き方がわかる方いらっしゃいませんでしょうか。
下の行列について、逆行列を求めなさい。
(4×4)行列で要素は以下。
a -b -c -d
b a -d c
c d a -b
d -c b a
答えは、
1/(a^2+b^2+c^2+d^2)*(以下の要素の行列)
a b c d
-b a d -c
-c -d a b
-d c -b a
余因子行列を使って一つ一つの要素を16回計算すれば出るのですが、
時間がかかりすぎてしまいます。
何か良いやり方はないでしょうか。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
この問題では,行列の行/列ベクトルが直交系を構成しており,
かつ各行/列ベクトルのノルムが等しい,というのがポイントになっています.
与えられた行列を,[X1^T X2^T X3^T X4^T] とします.`^T'は行列の転置です.
つまり,X1 = (a b c d)^Tです.X2, X3, X4も同様にします.
XとYの標準内積を<X, Y>で表します.
つまり,<X, Y> = X * Y^T です.
このとき,
<X1, X1> = a*a + b*b + c*c + d*d = a^2 + b^2 + c^2 + d^2
となります.
<X2, X2>, <X3, X3>, <X4, X4>も同じ値になりますね(確かめてみてください).
また,<X1, X2>はA No.1で示したように,0になります.
<X1, X3>, <X1, X4>, <X2, X3>, <X2, X4>, <X3, X4>も同様です.
ということは,
<X1, X1> <X1, X2> <X1, X3> <X1, X4>
<X2, X1> <X2, X2> <X2, X3> <X2, X4>
<X3, X1> <X3, X2> <X3, X3> <X3, X4>
<X4, X1> <X4, X2> <X4, X3> <X4, X4>
という行列は,対角成分が a^2 + b^2 + c^2 + d^2 で,残りが0の対角行列になります.
後は,どのようにこの行列を作るか,です.
返信が遅れて申し訳ありません。
私の勉強不足にも関わらず、
大変丁寧な説明ありがとうございます。
非常にわかりやすかったです。
ありがとうございました。
No.4
- 回答日時:
問題の行列を(a^2+b^2+c^2+d^2)の平方根で割れば、各列は、正規直交系となっています。
この行列をUと置けばUU'=E(U'はUの転置行列)。従って問題の行列の転置行列を求め、ノルムで割れば逆行列が求まります。No.2
- 回答日時:
簡単なとき方というか,参考までに.
a -b -c -d
b a -d c
c d a -b
d -c b a
この形の行列は四元数Hの4×4行列での表現になってます.
だから一般の四元数
a + bi + cj + dk
のノルムがa^2+b^2+c^2+d^2で逆元が
a - bi - cj - dk
で与えられることを知っていれば逆行列は簡単に
1/(a^2+b^2+c^2+d^2)*(以下の要素の行列)
a b c d
-b a d -c
-c -d a b
-d c -b a
となるのがわかります.
この回答への補足
ご回答ありがとうございます。
低レベルで申し訳ないのですが、四元数というのを初めて聞きました・・・。
早速ネットで調べてみたのですが、複雑すぎて何が何やら(^^;
もし、公式のようなものでしたら教えて頂けないでしょうか。
No.1
- 回答日時:
与えられた行列ですが,それぞれの行ベクトル同士,もしくはそれぞれの列ベクトル同士が直交しているのにはお気づきでしょうか?
たとえば,第1行(a -b -c -d)と第2行(b a -d c)との内積を計算すると,
a*b + (-b)*a + (-c)*(-d) + (-d)*c = ab - ab + cd - cd = 0
となりますね.
この回答への補足
ご回答、ありがとうございます。
直交していることはわかったのですが、
その先をどうすればよいのかがわかりません…。
よろしければ、直交するとどのようなことが成り立つのか教えて頂けないでしょうか。
知識がなくて申し訳ありません。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- その他(プログラミング・Web制作) パイソンのプログラミングについての質問です 2 2023/05/22 12:39
- Visual Basic(VBA) VBAで大量データの処理 3 2022/11/15 21:53
- Excel(エクセル) 別シートに毎回異なるデータをコピーする 7 2022/06/24 09:02
- 数学 行列 線形代数 数学 区間行列 ブロック行列 逆行列 区間行列(ブロック行列)でA^-1を求めよとい 2 2022/05/06 00:25
- 数学 行列式について。 行列式の問題(手計算でできるもの)の中には文字が含まれていて尚且つn次行列式になっ 3 2023/02/21 23:42
- 数学 一般的な行列の逆行列に関する質問 3 2022/04/21 14:53
- 高校 行列のかけ算 2 2022/06/24 17:12
- Visual Basic(VBA) Excel(VBA) 特定の条件に該当する行の値、書式を同じセルにコピ&ペーストしたいです 1 2022/05/21 18:18
- Excel(エクセル) エクセルの大きなシートでグラフを見つける 4 2022/07/28 10:07
- C言語・C++・C# このプログラミングの問題を教えてほしいです。 キーボードからデータ数nとn個のデータを入力し、平均値 3 2022/12/19 22:51
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
パソコンで行列はどう書けばいい?
-
WORDのMicrosoft数式3.0の3×3以...
-
大名行列を現代風に復活させる...
-
今の高校数学では行列は習わな...
-
なぜ四元数は数学の表舞台で活...
-
直交行列…など行列の名前
-
複素行列の余因子行列の証明問...
-
mathematicaの行列の掛け算に関...
-
対称行列Aの2乗A^2は対称行列で...
-
多分ですが写真のように行列を...
-
昨日、東京国際フォーラムで何...
-
F行列の問題についてですが、写...
-
Excelファイルの容量が更新する...
-
ジョルダン標準形の求め方。
-
数学における数の拡張について
-
積に関して可換な行列
-
行列というのは上と下に並んで...
-
ベクトルの内積の表記の仕方、...
-
曲面論 曲面のガウス曲率と平均...
-
Imの基底の求め方
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
今の高校数学では行列は習わな...
-
大名行列を現代風に復活させる...
-
パソコンで行列はどう書けばいい?
-
Excelファイルの容量が更新する...
-
共分散行列と分散共分散行列の...
-
対称行列Aの2乗A^2は対称行列で...
-
人気ラーメン店などの行列で
-
1×1行列とスカラーは同一視で...
-
高校数学の行列、ってなんの役...
-
行列
-
Texの行列に囲み枠を入れたいの...
-
線形代数の正規直行系について...
-
なんだろう。Excelのグラフ「行...
-
線形代数の問題がわかりません。
-
なぜ四元数は数学の表舞台で活...
-
WORDのMicrosoft数式3.0の3×3以...
-
LaTeXで転置行列の記号を書く方法
-
写真内の行列同士の間の点線はw...
-
ニュートン算
-
大学入試数学、力学系てなんで...
おすすめ情報