「正八角形の全ての頂点を直線で結んだ時にできる三角形の数(重なってできる三角形も含む)はいくつでしょう?」
という問題で、正解は608個になるそうです。
正解だけは教えてもらったのですが、何故そうなるのかがわかりません。
ネットで調べたり、友達に相談したり、私なりに出来る限りのことはしたつもりなのですが、わかりません。
数学が苦手な私でもわかるように説明していただける方がもしいらっしゃれば是非教えていただきたく、質問いたします。
このままでは、三角形ノイローゼで、こんにゃくもはんぺんも食べられなくなります;;
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
面倒なだけの問題かと思いましたが、考えてみると、なかなか良い問題ですね。
^^答えは608でなく、632個になると思います。
最初に確認ですが、頂点を結ぶ直線は、八角形の外にはひかないのですね?つまり、対角線を引く、ということで良いですね?
(頂点を結ぶ「直線」をすべて引けば、三角形は2000個ほど出来ます)
まず、その図は正確に描いてありますか?
対称性を考えて描くと、一番長い4本の対角線は全て一点(中心)で交わり、一番長い対角線について対称な、2本の二番目に長い対角線が、一番長い対角線上で交わるという状況がありますね。
それを考慮して描くと、対角線の交点は、真ん中に1個、その周りに正八角形の形に8個、その正八角形の少し外に8個、一番外の(一番短い)対角線上に32個、という形ですね。
特に、真ん中の点は4本の対角線が交わっていること、その周りの小さな正八角形を作る点では3本の対角線が交わっていることに注意です。
それが描けたら、対称性を利用して数えるだけです!
頑張って数え上げてもいいですが(僕は最初そうやりました。二回ミスして、最終的に632個が出ました。何度も見直して、一時間くらい?かかりました)、こうやると良いです。
三角形を作る対角線・辺のつくる「形」に着目します。
図を描けないので、うまく説明できるか心配ですが、
3本の辺・対角線で、三角形が出来ているとき、
出来る三角形の頂点が、
A3つとも正八角形の頂点であるとき
B2つが正八角形の頂点、1つが内部にあるとき
C1つが正八角形の頂点、2つが内部にあるとき
D3つとも内部にあるとき
で場合分けして考えます。
Aは、全体が三角形になっています。
Bは三角形のある頂点から、二辺を延長した形になります。〆のような形です。
Cは三角形の2つの頂点から、辺を延長した形です。Aの横棒を左右に伸ばしたような形です。
Dは、三角形の3つの頂点から、辺を全て延長した形です。
辺・対角線の端点となる正八角形の頂点の個数は、
A3個、B4個、C5個、D6個
となっています。
さて、
Aは、正八角形の頂点から、3個選ぶ選び方だけあります。
つまり、8C3=56個です。(8C3は、異なる8個の中から3個を選ぶ選び方(組み合わせ)の個数です。組み合わせは高校1年で習いますが、これは知っているものとします)
Bは、正八角形の頂点を4個選ぶと、Bのような形になる辺・対角線の結び方が4通りあるので、(×を描いて、そこから二点を結んで三角形を作る方法が4通りある)、8C4×4=280個。
Cは、正八角形の頂点を5個選ぶと、Cのような線の引き方は5通りあるので、(星型をかいてみると、Cの形の三角形が5つある)、8C5×5=280個
Dは、正八角形の頂点を6個選ぶと通常1個出来るが、<3本の線が1点で交わるときには、三角形は出来ない>。
3本の線が1点で交わるような交点は、真ん中の点か、その周りの8点のみ。
真ん中の点で交わる3本の対角線の組み合わせは、4本から3本選んで、4C3=4通り。
周りの8点で交わる三本の対角線は、それぞれ一組ずつあるから、
三角形が出来ない3本の対角線の組み合わせは、4+8=12通り。
よって、Dは、8C6-12=28-12=16個。
A~Dをあわせて、56+280+280+16=632個となります。
お返事が遅くなって申し訳ありませんでした。
やはり632個が正しいようですね。
実は友人が高校の時に数学の先生に教えてもらった問題らしいです。
友人の記憶違いなのかな・・・?
何はともあれ、すっきりしました。
ありがとうございました!
No.2
- 回答日時:
ここにも全く同じ問題が質問されてありますね。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
>正解だけは教えてもらったのですが、何故そうなるのかがわかりません。
この問題の正しい解は632個です。
ですから、mint_0311さんが「何故そうなるのかがわかりません。」と思われるのは
当然のことなのです。
608個というのは誤答です。
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