増加、減少

微分、関数の値の増加、減少という範囲で分からないことがあったので質問します。

定義：　f'(x)＞ならば、f(x)はその区間で増加する。

問題：f(x)＝x^3－3ax^2＋3x－4について次の問いに答えよ。

f(x)がつねに増加であるように、aの値の範囲を定めよ。

この問題の解説に

f(x)がつねに増加であるための条件は、すべてのxについてf'(x)≧0である。　

と書いてあります。

自分は、なぜ定義とは違い、この場合は　＞　でなく　≧　を使うのか。いまいちよく分かりません；；

詳しく説明していただけると嬉しいです。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2008/08/19 19:15

こんにちは。

あなたが疑問に思うのは、もっともなことです。

f(x)がつねに増加であるための条件は、

「すべてのxについてf'(x)≧0である。」
ではなく
「すべてのxについてf'(x)＞0である。」
です。

たとえば、
ｆ（ｘ）　＝　２
は、
ｆ’（ｘ）　＝　０
なので、
「すべてのxについてf'(x)≧0である。」
を満たします。
しかし、ｆ（ｘ）＝２　は、増加も減少もしません。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

すみません、まだ、いまいち理解に苦しんでます；

傾きが０の時は増加してないので、傾き０を含むと　常　に増加ではない気がするんですが・・・。

あと、他の問題で：関数が増加する区間、減少する区間を求めよ。
y=x^2＋2x＋3
　　この答は、　x＜-1で減少　x＞-1で増加　
で　≧≦　ではありません。
日本語の違いによって、＜　≦　の使い分けがよく分からないです；

補足日時：2008/08/19 19:35

No.2 回答者： kuwaman091 回答日時： 2008/08/19 19:31

解説が間違ってるのでは？

No.3 回答者： Tiffa9900 回答日時： 2008/08/19 19:39

定義：f'(x)>0 ならば、f(x)はその区間で増加する。

　　　↓
定義：f'(x)>0 ならば、f(x)はその地点(の付近)で増加する。

この定義は「ある地点において増加している」と言う事を意味していると思います。
f'(x)<0 ならば、逆に減少している。
f'(x)=0 ならば、増加も減少もしない傾き=0の地点となります。


ここで、問題中の「常に増加」をどう捉えるかによると思うのですが…

この問題の場合「減少せずにいる」という意味であるか、

もしくは、たとえ f'(x)=0となる地点があったとしても、その地点としては傾き=0となりますが、y=3のように傾き=0が続く関数ではないので、微小区間としては傾き=0の地点を含んでも増加しているから。
って事かな………


専門家ではありませんし、学生時代(十数年前)の記憶なので、参考意見程度にしてください。m(_ _)m

No.4 回答者： take_5 回答日時： 2008/08/19 19:57

この場合の増加は　f(x)が“単調増加”であることを意味している。

従って、問題の解説は正しい。

この回答への補足

単調増加！？　初めて聞きました；

補足日時：2008/08/19 20:03

No.5 回答者： gekkouya 回答日時： 2008/08/19 20:35

簡単のために

f(x)=x^3としましょう
f'(x)=3x^2
なのでf'(0)=0
ですが、その周辺では増加していますよね。
つまり
任意の正数eがあったとして
f(x+e)>f(x)
です。

一瞬だけf(a)=0
となるaが存在していても
常に増加し続けています。

f(0+e)-f(0)≧0
(eは0.000000000000000000000000000000000000001でも何でも良い)
ですよね？

これは常に増加しているといえませんか?

この回答への補足

ちなみに　f(0+e)-f(0)≧0　は　
　　　　　f(0+e)-f(0)＞0　ではないのですか？

たしかに常に増加してます＠＠

この問題についても聞きたいのですが、
関数が増加する区間、を求めよ。
y=x^2＋2x＋3
　　この答は、　x＞-1で増加　
　x≧-１で増加　ではこれはダメなのでしょうか？

補足日時：2008/08/19 21:07

No.6 回答者： sanori 回答日時： 2008/08/19 21:41

＃１の回答者です。

＞＞＞
傾きが０の時は増加してないので、傾き０を含むと　常　に増加ではない気がするんですが・・・。

おっしゃるとおりです。
「常に増加」ではありません。
前回回答も、そういうことを言っています。

この回答への補足

常に増加でなければ、問題として成り立たないというか、答えが間違っているというか。。。　よくわからなくなってきました：

補足日時：2008/08/19 22:06

No.7 回答者： take_5 回答日時： 2008/08/19 22:16

＞傾きが０の時は増加してないので、傾き０を含むと　常　に増加ではない気がするんですが・・・。

その場合も含めて、広義の単調増加という。
説明が面倒なので、下のＵＲＬをよく読む事。

http://blog.livedoor.jp/cfv21/math/monotone.htm

この回答へのお礼

広義の単調増加ですか＠
勉強になります

お礼日時：2008/08/19 22:49

No.8 回答者： kuwaman091 回答日時： 2008/08/19 22:21

No 2です。

（解説について）
高校の教科書では、
区間内にf'(c)=0となるxの値cがあっても、その他のxの値でf'(x)>0であえば、f(x)はその区間で単調に増加すると考えていました。

よって、すべてのxに対してf'(x)≧0を示せばOK。
上記の問題では、すべてのxに対してf(x)=0とならない（定数ではない）のは明らかですしね。

No.9 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/08/19 23:58

＞ 定義： f ' (x) > 0 ならば、f(x) はその区間で増加する。

まず、ここが変。
増加であるか否かは、微分不可能な関数についても定義できます。

普通の定義は…
　　a < b ならば f(a) < f(b) であることを 狭義単調増加、
　　a ≦ b ならば f(a) ≦ f(b) であることを 広義単調増加
と言います。
単に「増加」と言えば、通常は、「狭義単調増加」のことを指します。

f(x) が微分可能であれば、
f(x) が狭義単調増加であるための必要十分条件は、孤立点を除いて f ' (x) > 0 であることです。
このとき、区間内に f ' (x) = 0 となる x があっても構いませんが、
そのような x は、集積してはいけません。

微分可能な f(x) が、広義単調増加であるための必要十分条件は、
区間内で f ' (x) ≧ 0 であることです。

f(x) が、一次以上の（定数関数以外の）多項式であれば、
狭義単調増加であることと、広義単調増加であることは、同値です。

No.10 回答者： tecchan22 回答日時： 2008/08/20 07:14

＞＃９

＞f(x) が微分可能であれば、
＞f(x) が狭義単調増加であるための必要十分条件は、孤立点を除いてf ' (x) > 0 であることです。
＞このとき、区間内に f ' (x) = 0 となる x があっても構いませんが、そのような x は、集積してはいけません。

これはおかしいのでは？
f(x)が微分可能ならば、f(x)が狭義単調増加であるための必要十分条件は、f ' (x)の任意の（部分）区間での積分値が正であることでしょう。
（　f(b)-f(a)=∫(a→b)f ' (x)dx　だから、ｆが狭義単調増加⇔任意の区間でのf ' (x)の積分＞０　）

たとえばf ' (x)＝１＋sin(1/x) （ただしｘ＝０のときは１とする）
であるような関数f(x)を考えると、ｘ＝０はf ' (x)＝０となるｘの集積点になるが、f ' (x)は任意の区間で積分値＞０より、狭義単調増加になるはずです。