平均値について

平均値について教えて下さい。
全部で100kmの走行のうち、30kmが15km/lの燃費、残りの70kmが10km/lの燃費とします。
この時、全区間（100km）の平均燃費についてですが・・・。

距離をそれぞれの燃費の比重と考えると、
(1)（（15km/lｘ30km）＋（10km/lｘ70km)）÷100km＝11.5km/lになります。

しかし、実際に使った燃料で考えると、
(2)100km÷（30km÷15km/l＋70km÷10km/l）=11.1km/lとなります。

(1)と(2)の結果は一緒になるかと思っていたのですが、この差はなぜ発生してしまうか分かりますか？

No.8 回答者： htms42 回答日時： 2008/10/31 09:23

＃７です。

＞この式は見方を変えれば、各区間の燃料を出して、その合計で全区間を割るということと同じになっていますが・・・。

＃３で

＞全区間距離が１００ｋｍ、全燃料消費量が９Ｌですから

＞（Ａ）１００／９＝１１．１ｋｍ／Ｌ
＞（Ｂ）９／１００＝０．０９Ｌ／ｋｍ

のように書きました。この（Ａ）が求まったのですね。

平均は全区間距離と全燃料消費量とから求めることが出来ます。
自動車の場合はこの２つがいきなり与えられています。メーターで見た走行距離と入れたガソリンの量です。
でもテストの点では個人の点しか分かりません。
総得点は個人の得点を足し合わせていくことで求められます。この時に重複があれば計算方法が変わってくるのです。でも総得点は計算方法によって変化しません。

自動車の場合でも「区間ごとの燃料消費量の違いを考えたとしても結局は全走行距離と全燃料消費量で出した平均と一致しなければおかしい」のです。

ただ自動車の場合、「重複は足し合わせいく量についてのものだ」ということが分かりにくくなっています。個人の得点に対応するものが意識されていないからです。

確認でもう一度書いておきます。

（Ａ）は燃料１Ｌあたりの平均走行距離です。最初の１Ｌ，次の１Ｌ、・・・と各燃料消費量によって走行距離が異なるので平均を考えます。この場合の平均は各燃料消費量ごとについての足し合わせです。
したがって重複は燃料消費量についてのものです。２Ｌ分は１Ｌあたりの走行距離が同じであった、別の３Ｌ分はまた同じであった、というような場合になります。
（Ｂ）は１ｋｍあたりの平均燃料消費量です。最初の１ｋｍ、次の１ｋｍ、・・・と各距離の区間ごとに燃料消費量が異なるので平均を考えます。この場合の平均は各距離区間ごとについての足し合わせです。したがって重複は走行距離についてのものです。１０ｋｍ分は１ｋｍあたりの燃料消費量が同じであった、別の２０ｋｍ分はまた同じであったというような場合です。

数学で平均が　（ａ＋ｂ）／２　というう表現で出てくるのも誤解の元かもしれません。
統計量の１つとして出てくる（単位を持った量である）平均と、単なる数字の記号表現の一つである上の式で表される平均とは同じではないのです。

No.7 回答者： htms42 回答日時： 2008/10/28 21:46

＃３です。

＞ただし、直感的には一般的な燃費（km/l）でも、全体の距離に対する各区間の比率をそれぞれの燃費で掛ければ、全体の平均が出そうな気がするのですが・・・。

距離の比率で重みをつければ平均を求めることが出来るというのがどうして成り立ちますか。

分かりやすいように平均点で考えます。
４０人の生徒の得点が
ａ１、ａ２、ａ３、，・・・、ａ４０
だとします。「平均」ですから「平に」「均して」考えるのです。「得点の多い人の点を得点の少ない人に回して全員が同じ得点であるようにして考えるといくらに相当するでしょうか」という発想ですね。そのときには総得点を変えないようにして考えるという前提が入ってきています。そのように考えた時の平均点を求める方法が総得点を人数で割るという操作です。これが基本です。
ところが得点が５点と１０点の２つしかなかったとします。
総得点を求める方法が２つあります。
（１）全員の得点を足す
（２）５点の人の数ｎ１と１０点の人の数ｎ２を数えて
５×ｎ１＋１０×ｎ２で求める

（１）の場合も（２）の場合も「平均値＝総得点／４０」です。
ところが（２）の場合、
平均値＝５×（ｎ１／４０）＋１０×（ｎ２／４０）
になります。ｎ１／４０、ｎ２／４０は全体に対する人数の比率です。
この式を形式的に理解して比率で足し合わせたら平均が求められると考えるとおかしくなります。
この場合でいうと４０人という人についてその得点を足し合わせるという操作で求められる平均値を出そうとしています。したがってこの比率は人数で考えた時の重複率です。人について足していくので重複率は人数で表されます。
和をとる量についての重複率が比率になるのです。

燃費にもどります。
全体１００ｋｍのうち３０ｋｍと７０ｋｍとの２つの区間のそれぞれでで燃料消費率が同じであったということです。
３０ｋｍ、７０ｋｍを重複として考えることの出来るのは１ｋｍごとの量を足し合わせていく時です。したがって燃費はＬ／ｋｍで表されるものでないといけません。
１ｋｍごとの燃料消費量を全部足して１００ｋｍで割るということで燃費を出す時に３０ｋｍ区間と７０ｋｍ区間で重複があるのです。
（３０ｋｍ×（１／１５）Ｌ／ｋｍ＋７０ｋｍ×（１／１０）Ｋ／ｋｍ）１００ｋｍ
です。

もし１５ｋｍ／Ｌ、１０ｋｍ／Ｌを使うのであれば１Ｌごとの可能走行距離が異なるので全工程で平均するといくらになるかということですから最初の１Ｌで進んだ距離、次の１Ｌで進んだ距離、・・・というように総燃料消費量に対する総走行距離を出して平均値をとる事になります。重複は最初の１Ｌと次の１Ｌが進んだ距離が同じであったという場合に起こります。

重複はどういう量について和を取っているかによって変わります。
全体に対する比率というのは和を取っている量についての重複なんです。

＃５で平均速度が例に出されています。
平均の速さ（平均速度）についても同じような混乱があります。
速さは距離／時間です。
時間が変化しても同じ速さであればいいのですが変化している場合があります。そのときは平均の速さしか分かりません。
平均の速さ＝全移動距離／その移動に要した時間
です。ある短い時間を単位時間と考えて各単位時間ごとの速さが与えられているとします。この速さから各単位時間ごとの移動距離を出して足し合わせていくと全移動距離が出てきます。重複があれば比率で表すことが出来ます。この重複は「時間についてのもの」であるはずです。重複が距離で与えられているからと言って距離の比率をそのまま使ってもいいということではないのです。
ある区間を行きは１０ｍ/ｓ、帰りを６ｍ／ｓで走った。平均の速さはいくらかという問に対して「８ｍ／ｓではなぜいけないのか」という質問をよく見ます。時間についての重複に変換して平均を出さないといけないのに距離の比率をそのまま使っているからおかしくなるのです。

この回答へのお礼

かなり詳しく説明して頂きありがとうございます。
つまり燃費で考えた場合、15km/lは当然1Lあたりに進む距離ということなので、15km/lで走行する割合が30/15＝2、10km/hで走行する割合が70/10=7となり、平均値は
（2*15km/h＋7*10km/h）/（2+7）＝100/9＝11.1km/h
となりますね。

この式は見方を変えれば、各区間の燃料を出して、その合計で全区間を割るということと同じになっていますが・・・。

お礼日時：2008/10/30 15:38

No.6 回答者： Ishiwara 回答日時： 2008/10/28 21:45

平均燃費と燃費平均は違うからです。

よくある問題ですが、行きと帰りの時速を足して２で割ると「時速平均」で、全距離÷全時間が「平均時速」です。行きが徒歩で、帰りが飛行機なんて例を考えると、違いがよく分かります。

この回答へのお礼

なるほど！そのように考えると確かに変ですよね。

片道50kmを行きは歩きで4km/h、帰りは車で100km/hとすると
平均は100km/（12.5h+0.5h）=7.7km/h
ですが、比率で計算してしまうと
（50*4+50*100）/100= 52.5km/h
になってしまいますね。

お礼日時：2008/10/30 15:14

No.5 回答者： mocapapa89 回答日時： 2008/10/28 18:27

直感的に(1)=(2)となるという直感が間違っています。

たとえば全部で100kmの走行のうち30kmが15km/hの時速、残りの70kmが10km/hの時速とします。平均時速はどのように出しますか？

15km/h×0.3+10km/h×0.7とはしませんよね？

もちろん(2)のほうが正しいわけで、30km部分は30/15=2h、70km部分は70/10=7h合計9時間かかるわけです。平均時速は11.1km/hです。元の問題lをhにしてみただけです。

No.4 回答者： hugen 回答日時： 2008/10/27 23:05

30kmが15km/lの燃費：2L

70kmが10km/lの燃費：7L
---------------------------
(15km/l+15km/l+10km/l+10km/l+10km/l+10km/l+10km/l+10km/l+10km/l)/(2L+7L)
=(15km/l*2L+10km/l*7L)/9L=15km/l*2L/9L+10km/l*7L/9L

No.3 回答者： htms42 回答日時： 2008/10/27 21:53

「燃費」というのをどう考えるかです。

（Ａ）燃料１Ｌ当たり何ｋｍ走ることが出来るかで考える、
（Ｂ）１ｋｍあたりの燃料消費量で考える

普通は（Ａ）の意味で使われています。でも燃料代に直接繋がるのは燃料消費量ですから（Ｂ）の方が「燃費」という言葉に忠実です。
どちらもありでしょう。（Ａ）と（Ｂ）は逆数の関係にあります。

出し方は定義に忠実にやればいいです。
全区間距離が１００ｋｍ、全燃料消費量が９Ｌですから

（Ａ）１００／９＝１１．１ｋｍ／Ｌ
（Ｂ）９／１００＝０．０９Ｌ／ｋｍ

＃１の解答に書かれているようにやったとすると（Ｂ）が出てきます。
（((１／１５)Ｌ／ｋｍ)×３０ｋｍ＋((１／１０)Ｌ／ｋｍ×７０ｋｍ))／１００Ｌ＝０．０９Ｌ／ｋｍ
です。

＞距離をそれぞれの燃費の比重と考えると、

燃費の比重という言葉は根拠のない言葉です。

１ｋｍあたりの燃料消費量に距離をかければその距離での実際の燃料消費量が出てくるというだけの式です。

この回答への補足

おっしゃる通り、燃費を１ｋｍあたりの燃料消費量で考えれば、つじつまが合うと思います。

ただし、直感的には一般的な燃費（km/l）でも、全体の距離に対する各区間の比率をそれぞれの燃費で掛ければ、全体の平均が出そうな気がするのですが・・・。

結果が微妙に近いのに、間違っている原因がやっぱり分からないですね。単純に計算方法が違うと言われればそれまでですが。

補足日時：2008/10/28 10:31

No.2 回答者： lemonsui 回答日時： 2008/10/27 11:53

燃費を「km/l」（１リットルで何キロメートル走れるか）で計算しているから。

(1)の解き方のようにこれにkmをかけると、単位はkm^2 / l (※「^」は２乗の記号)になってしまい、
少なくとも平均値を計算するのに意味のある記号ではなくなります。

燃費を「l/km」 (１キロ走るのに何リットル必要か）で計算すればOKです。

最初が(1/15）l/km
後が(1/10）l/km

これならば(1)の解き方に当てはめて解くことが可能です。

この回答への補足

燃費を「l/km」で考えると言うのは、面白いですね。

（１）の解き方については最終的にkmで割っているので、結果としては
単位がkm/lで合うように思うのですが・・・。

直感的には(1)＝(2)となりそうなものなのですが、微妙に差が出てしまうところが不思議なんです。

補足日時：2008/10/27 15:32

No.1 回答者： hrkn-p 回答日時： 2008/10/27 11:43

全体の平均は、部分平均の合計とは違います。

（って、何かの授業でならいました。）