![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67)
昨日も質問したのですが、「問題がないと」という指摘があったので、再度問題文も掲載して質問させて頂きます。
問題:
nを自然数とする。n,n+2,n+4がすべて素数であるのはn=3の場合だけであることを示せ。
n、n+2、n+4
1 3 5
2 4 6
3 5 7
4 6 8
5 7 9
6 8 10
答案:
1)n=3のとき、確かにn,n+2,n+4は全て素数となる。
2)n≠3のとき、n,n+2,n+4のうち少なくとも1つが合成数であることを示すために、n≠3のとき、n,n+2,n+4全てが素数となると仮定してその矛盾を示す。
(上表より、全ての場合において3の倍数があるから、)
n=3k、3k+1、3k+2(k:整数)とかける。
ここから、実際に上3式をn,n+2,n+4に代入して矛盾を示していきます。
◆質問はここから…
n=3k+1のとき、
参考書では,「n+2=(3k+1)+2=3(k+1) これは合成数である」
となっているのですが、k=0のときは、
n+2=(3k+1)+2=3(k+1)=3なり、これは素数です。
k=1,2,3・・・のときは確かに合成数になりますが、k=0のときは素数。
答案を書く際、(ただしk≠0)と書いておかなくてはダメですよね?
参考書ではそのような注意がないのです。
昨日質問した際、
「問題文が書いてないのは辛いが、当然にも、k=1、2、‥‥である。」という回答を頂きました。
しかし、n=3k+1とした場合、nは自然数なのでkは負にこそならないものの、k=0のとき、n=1となり自然数であることを満たします。
何か私がとんでもない勘違いをしているだけでしょうか…。
回答よろしくお願いします。
参考までに、昨日質問したページのURLを貼っておきます。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4526910.html
No.5
- 回答日時:
冒頭に「n≠3のとき、n,n+2,n+4全てが素数となると仮定してその矛盾を示す」
と宣言しておきながら、以降の証明では、n を 3 で割った余りで場合分けして
n, n+2, n+4 のなかに実際に合成数があることを挙げているだけで、ちっとも
背理法になっていないから、話が変になるのでしょうね。
No.3
- 回答日時:
「とんでもない勘違い」と言うほど大層なものではありませんが、
その参考書の解答例には、御指摘どおり雑なところがあります。
「答案」としては、不完全と言われるでしょう。
1) n=1 のとき、n は素数でない。
n=2 のとき、n+2 も n+4 も素数でない。
n=3 のとき、n, n+2, n+4 は 3, 5, 7 であり、全て素数である。
2) n≧4 のとき…
と修正すれば、そのような揚げ足取りの余地をなくすことができます。
No.2
- 回答日時:
「n,n+2,n+4全てが素数となると仮定して」議論を始めたのだから,
n=3k+1(kは整数)のときは,必然的に k≧2 となりますよね。
また,「n,n+2,n+4全てが素数」を前提としていますから,わざわざ
「kは1以上の整数」とことわらなくても,「n,n+2,n+4全てが素数」
となるようなkの範囲で考えていることになります。
まあ,話が長くて最初に述べたことを忘れたのでしょう。
ちなみに,この問題はもっと簡単に考えることができます。
n,n+2,n+4は3で割った余りが互いに異なるので,
いずれか一つは必ず3の倍数(余り0)となり,
すべて素数という仮定からその3の倍数は3と一致します。
あとは n=3,n+2=3,n+4=3 の各場合に分けて吟味するだけ。
No.1
- 回答日時:
>答案を書く際、(ただしk≠0)と書いておかなくてはダメですよね?
>参考書ではそのような注意がないのです。
抜けてるんでしょうね。
>答案を書く際、(ただしk≠0)と書いておかなくてはダメですよね?
そして、k = 0 の場合を別に検討する必要があるでしょう。
n = 3k + 1 = 1 の場合、n + 2 は素数ですが n は素数ではありません。
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