歪対称行列について

歪対称行列「J=-J^T(転置行列)∈R(n×n)」の固有値は０、または純虚数であることを示せ。

という問題です。
固有方程式を地道に解いていくことから始めるのは分かりますが、展開式の第２項以降がどうなるのか分かりません。
回答例をお願いします。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/01/18 01:05

ひねくれて 2次形式からいってみる試み:

J^TJ は半正定値対称なのでその固有値は全て非負. ところが J^TJ = -J^2 だから, J の固有値 λ は -λ^2 ≧ 0 を満たす.
結局内積使ってますが.

この回答へのお礼

ありがとうございます。
半正定値対称がわからないのですがなにか別の言葉で説明していただけないでしょうか？

お礼日時：2009/01/19 01:05

No.1 回答者： phyonco 回答日時： 2009/01/16 15:53

H=iJ 但しiは虚数単位、とすれば、Hはエルミート行列となり、エルミート行列の固有値は実数ですから、これで問題に答えたことになります。

　エルミート行列の固有値が実数であることは、|a>をHの固有値aに属する固有ベクトルとし、通常の方法で内積を導入して<a|を|a>に双対なベクトルとすれば
<a|H |a> = a <a|a>
ですが、|a>のノルムの二乗||(|a>)||^2 = <a|a>は実数なので、上式の両辺の複素共役をとれば、
<a| H* |a> = a* <a|a>
ところがHがエルミートなので H*=H で、ここから a* = a となることがわかります。但しここでHのエルミート共役をH*と書きました。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
自分の学校の授業ですとまだエルミート行列を習っていなくて、調べてみたんですがあまり説明が載っていなくて苦労しました。

お礼日時：2009/01/19 01:03