２-√2と３-√６どっちが大きい？

タイトルの通りなのですが。。。
２-√２と３-√６の大きさを比べるときに、
１＜√２＜２　　　　∴１＜２-√２＜２
２＜√６＜３　　　　∴１＜３-√６＜２
で１桁では分からないのでとりあえず．５でやってみると
（１.５）２乗＝２．２５
ということは√２＝１．４ぐらい…？
（２．５）２乗＝６．２５
で√６＝２．４ぐらい…

この様子では、しばらく決まりそうにないですし
解の吟味に過ぎないので出来れば１分ぐらいで済ませたいのですが
何かいい方法はありませんか？

No.6 ベストアンサー 回答者： htms42 回答日時： 2009/01/28 13:57

＃４です。

すみません。間違いました。

＞√２＜１．５
　√６＞２
　という値でも判断可能です。

この部分は削除してください。

ついでですから
＞２－√２＝(２－√２)(２＋√２)/(２＋√２)＝２/(２＋√２)
＞３－√６＝３/(３＋√６)
＋に変えたものを分母に持っていくだけで数値を代入しても大小は分かります。

２/(２＋√２)≒２／３．４＝１／１．７
３/(３＋√６)≒＝３／５．４＝１／１．８

でもわずかな違いです。

１/(１＋(√２)/２)と１/(１＋(√６)/３)
まで持っていくと違いが一ヶ所になっていますから検討しやすいというだけです。判断の精度はどちらでやっても同じです。

時間をかけたくないということですから一回の変形だけで済ませてしまっても十分です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
かなり微妙な違いなんですね。。。
最初は目算でいけるかな…とどつぼにはまってしまったのですが
丁寧に計算する必要があったのですね。

蛇足ですが、センターの問題（二次関数）の一部でした。
実際は解答欄の形からこれをやらずに解けるのですが、
本番はいちいち計算せずに答えろって事ですかね…

お礼日時：2009/01/29 20:09

No.5 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2009/01/27 23:56

実は、この問題だと、結局、＃４の方と実際の計算は、ほぼ同じということになるのですが、

微妙な数字同士の比較をしたいとか、近似値を知りたい場合には、「連分数展開」が有効です。
この問題よりもさらに微妙な数同士を比較しろとか言われても万能です。
wikipediaの「連分数の計算法」のところを見てください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86% …
あるいは、過去の質問とか
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa957031.html

2-√2 = 0 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(2 + (√2-1))))
3-√6 = 0 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(4 + (√6-2))))
です。
手計算だと、ここまで行く前に、＃４の方と同様
2-√2 = 0 + 1/(1 + √2/2)
3-√6 = 0 + 1/(1 + √6/3)
の段階ですでに大小関係が見えてきてしまいますが。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
…なんだか難しいですがリンク先等も参考にして
考えてみたいと思います('・ω・)」

お礼日時：2009/01/29 20:04

No.4 回答者： htms42 回答日時： 2009/01/27 10:10

２-√２　とか３－√６　とかの表現は数値を入れて比べるのには適していません。

差をとると値が小さくなりますから使う数値の桁数を多くとる必要が出てくるのです。今までのご回答はそういう立場です。
これは有効数字の計算などでも注意が必要な知識です。
用いる数値の桁数を増やさずに判断したいという場合には引き算でなくて足し算に変えておくのがお勧めです。
ついでに式の変形だけでどこまでいけるかを考えるのも出来るようになっているといいでしょう。

よく使う分母の有理化の逆をやります。
２－√２＝(２－√２)(２＋√２)/(２＋√２)＝２/(２＋√２)＝１/(１＋(√２)/２)
３－√６＝３/(３＋√６)＝１/(１＋(√６)/３)
ここまで来ると
(√２)/２　と(√６)/３　の大きさを比べればいいというのが分かります。
これだと
√２≒１．４
√６≒２．４
という値でも大小の判断が出来ます。
√２＜１．５
√６＞２
という値でも判断可能です。

数値を入れずに少し先に進むのであれば比を取ります。
（(√２)/２)／((√６)/３)＝√３／２
√３＜２ですから大小関係は分かります。

√の付いた量の引き算を足し算に変えて考えるというのは近似計算ではよく使います。微少量を抜き出す時に使う方法です。
導関数を求める時にも使う事ができます。

No.3 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/01/26 20:08

√2, √3 の近似値を２～３桁覚えていれば、

どっちが大きいかの結論はわかりますね。
結論がわかってしまえば、ぐにぐに式変形してみるうちに、
No.2 のように、何となく論証できてしまうものです。

一般教養として、
√2 = 1.41421356…
√3 = 1.7320508…
√5 = 2.2360679…
√7 = 2.64575…
くらいは知っておくと便利だと思います。
有名な語呂合わせもあります。

この回答へのお礼

覚えてしまうんですか。。。
確かに解説には「２-√２＜３-√６に注意」
としか書いてなかったので
覚えろって事かも知れないですね。

お礼日時：2009/01/29 20:01

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/01/26 19:26

>１＜√２＜２　　　　∴１＜２-√２＜２

>２＜√６＜３　　　　∴１＜３-√６＜２
間違いですね。ケアレスミスでしょう。
∴0＜２-√２＜1
∴0＜３-√６＜1
↓
いずれも正です。
差をとって
A=(3-√6)-(2-√2)=1+√2-√6
の符号を調べればよい。
両辺に正の(1+√2+√6)を掛けた
B=(1+√2+√6)A
はAと符号が同じなのでBの符号を調べればよい。
B=(1+√2-√6)(1+√2+√6)=(1+√2)^2-6=2√2-3=√8-√9＜0
したがって
A=(3-√6)-(2-√2)＜0
すなわち
(3-√6)＜(2-√2)
と言うことが出てきます。

この回答へのお礼

あ…すみません。そうですよね。
差を取るんですか！確かに不等式証明とかでやった気が。。。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2009/01/29 19:58

No.1 回答者： ASTRAEAmk2 回答日時： 2009/01/26 19:10

2-√2と3-√6では、2-√2の方が値が大きいです。

何せ、2-√2≒0.585
　　　3-√6≒0.551なので。
こういった計算なら、関数電卓やマイコンを使った方が遙かに早いですよ。
あとは、数学の教科書なんかを開いた方が（ｒｙ

この回答へのお礼

ありがとうございます。
電卓使おうかな…とも思ったんですけど
試験のときは使えないので慣れとこうかと。

お礼日時：2009/01/29 19:53