一次関数の応用問題ができません。教えてください。

前に受けたある塾の公開模試を受けてみたのですが、どうしても一次関数の問題が解けません。回答を見てもいまいちよくわかりません。

（２）の答えは　５ｃｍ
（３）の答えは　１８　２０
　　　　　　　　　――　――
　　　　　　　　　　７，　　７　（７ぶんの１８カンマ７ぶんの２０）
とあるのですが、なぜこのような答えになるのですか？教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： R_Earl 回答日時： 2009/03/25 16:22

何が分かれば問題が解けそうなのかを考えてみて下さい。

(2)
線分PQの長さを求めるためには何が分かればよいのかを考えます。

点Pと点Qの座標が分かれば、線分PQの長さが求められそうですよね？
なのでまず、「点Pと点Qの座標を求める」事から始めます。
この(2)の問題の中では、点Pのx座標は3だと書いてあります。
これを元に点Pのy座標を求めます。
点Pは直線y = -2x + 8上の点です。
なのでこの直線の式にx = 3(点Pのx座標)を代入すれば、
点Pのy座標が計算できます。
y = -2 × 3 + 8 = 2となり、点Pの座標は(3, 2)だと分かります。

次に点Qの座標です。
点Qは点Pの真横（つまり同じ高さ）にあります。
「高さが同じ」ということは、「y座標が一緒」ということですよね？
よって点Qのy座標は2です。
これを元に点Qのx座標も求めます。
点Qは直線y = (1/2)x + 3上の点です。
よってこの直線の式にy = 2(点Qのy座標)を代入すれば、
点Qのx座標が計算できます。
2 = (1/2)x + 3
この方程式を解くとx = -2なので、点Qのx座標は-2です。
よって点Qの座標は(-2, 2)です。

点Pの座標が(3, 2)、点Qの座標が(-2, 2)なので、
PQの長さは5となります
(なぜそうなるのかわからない時は、実際にxy座標に点Pと点Qをかいてみてください)。

(3)
長方形PQSRが正方形になるためには、
縦の辺と横の辺の長さが一致すれば良いですよね。
よって

(縦の辺の長さ) = (横の辺の長さ)

という方程式を立ててしまえば良いんです。
ところが各点の座標が分からないと、線分の長さは計算できません。
つまり問題文では「点Pの座標を求めて欲しい」と書いてあるのに、
この問題は「点Pの座標がないと解けない」んです。

こういう困った事態に対応するために、中学数学では「文字式」を習うんです。
点Pの座標が分からないと問題が解けないので、とりあえず点Pの座標を文字式でおいてしまうんです。
こうすると「点Pの座標は分からない」状態でも、「点Pの座標を使って計算する」ことができますよね。

あまり文字を増やしても計算が大変なので、
今回はとりあえず分からないものの中から1つだけを選び、
それに文字式を割り当てます。
とりあえず、点Pのx座標をaと置いてみます。
これを元に点Pのy座標を求めてみます(ここから先やることは(2)と同じです)。
点Pは直線y = -2x + 8上の点です。
なのでこの直線の式にx = a(点Pのx座標)を代入すれば、
点Pのy座標が計算できます。
y = -2 × a + 8 = 2となり、点Pの座標は(a, -2a + 8)だと分かります。

次に点Qの座標です(こちらもやることは(2)と同じです)。
点Qは点Pの真横（つまり同じ高さ）にあります。
「高さが同じ」ということは、「y座標が一緒」ということですよね？
よって点Qのy座標は-2a + 8です。
これを元に点Qのx座標も求めます。
点Qは直線y = (1/2)x + 3上の点です。
よってこの直線の式にy = -2a + 8(点Qのy座標)を代入すれば、
点Qのx座標が計算できます。
-2a + 8 = (1/2)x + 3
ここからxを求めます。

-2a + 8 = (1/2)x + 3
-2a + 5 = (1/2)x
xの係数(1/2)を消すために両辺に2をかけます
-4a + 10 = x
よってx = -4a + 10

以上より、点Qのx座標は-4a + 10です。
まとめると、点Qの座標は(-4a + 10, -2a + 8)となります。

点P、点Qの座標の求め方は(2)と同じでしたよね。
基本的に座標に数字を使っても文字式を使っても、
やることは同じなんです。

今回は縦の辺の長さも知りたいので、点Rの座標も求めます(線分PRが縦の辺なので)。
点Rは点Pの真下にあるので、点Rと点Pのx座標は一緒です。
よって点Rのx座標はaです。
点Rはx軸上の点です。つまり高さ0の点です。よって点Rのy座標は0です。
以上より、点Rの座標は(a, 0)となります。

点Pの座標は(a, -2a + 8)、
点Qの座標は(-4a + 10, -2a + 8)、
点Rの座標は(a, 0)と分かりました。
これで正方形の縦の長さ(線分PRの長さ)と横の長さ(線分PQの長さ)が計算できます。
縦(線分PR)の長さは点Pと点Rの高さ(つまりy座標)を考えればよいです。

PRの長さ
= (点Pのy座標) - (点Rのy座標)　（y座標が大きい方から小さい方を引きます）
= (-2a + 8) - 0
= -2a + 8

横(線分PQ)の長さは点Pと点Qの横方向の位置(つまりx座標)を考えればよいです。

PQの長さ
= (点Pのx座標) - (点Qのx座標)　（x座標が大きい方から小さい方を引きます）
= a - (-4a + 10)
= 5a - 10

最初に述べたように、長方形PQSRが正方形になるためには、
縦の辺と横の辺の長さが一致すれば良いですよね。
よって

(縦の辺の長さ) = (横の辺の長さ)
-2a + 8 = 5a - 10
この方程式を解くとa = 18/7
点Pの座標は(a, -2a + 8)なので、このa = 18/7を代入すると
点Pの座標は(18/7, 20/7)となります。

問題の解説はここまででしょうか。
最後に質問者さんに質問です。
何故線分の長さを計算するのに引き算を使うかは分かりますか？
何故線分の長さを計算する時、大きい方の座標から小さい方の座標を引いたのか分かりますか？
もし分からなければ、補足欄に書いて下さい。

No.6 回答者： 35160000 回答日時： 2009/03/26 16:35

(２)Pのｙ座標を求めます　　　　　　　直線ｌにあてはめる

　　ｙ＝－６＋８
　　　＝２　　　　　　Ｐ(３，２)
　　このことからＱの座標も分かります　直線ｍにあてはめる
　　２＝１/２ｘ+３
　　４＝ｘ＋６
　　ｘ＝－２　　　　　Ｑ(－２，２)　
Ｑのｘ座標が－2なので原点から２ｃｍ
Ｐのｘ座標が３なので原点から３ｃｍ　　よって５ｃｍです

No.5 回答者： xxnoanoaxx 回答日時： 2009/03/26 16:07

----２----

（手順）
(1)点Ｐ，Ｑの座標を求めます。
(2)ｘ座標同士を引き算して、Ｐ～Ｑ間の距離を求めます。

(1)．
ｌ：ｙ＝－２ｘ＋８　　Ｐ【３，□】　
→□（ｙ座標）を求めましょう。

ｍ：□＝１／２ｘ　＋３　　Ｑ【○，□】
→○（ｘ座標）を求めましょう。

Ｐ【３，□】　Ｑ【○，□】

(2)．
「３－○」を計算しましょう。


----３----
（手順）
(1)　前の問題と同じように全ての座標を求めていきましょう。（分からない座標は文字に置き換えます。）
(2)　計算をラクにする為に、いらない文字を消します。
(3)　正方形の特徴に注目して式を立てます。

(1)
Ｐ：ｘ座標をｐとします。→【ｐ，－２ｐ＋８】（ｌの式にｐを代入）
Ｑ：ｘ座標をｑとします。→【ｑ，１／２ｑ＋３】（ｍの式にｑを代入）
Ｒ：【ｑ，０】
Ｓ：【ｐ，０】

(2)
ここで、Ｐ、Ｑのｙ座標は等しいということに注目します。
「Ｐのｙ座標＝Ｑのｙ座標」という式を立て、
これをｑについて解きます。
すると、ｑ＝○ｐ＋○　のような式が出てきます。

Ｐ【ｐ，－２ｐ＋８】
Ｑ【○ｐ＋○，－２ｘ＋８】
Ｒ【ｐ，０】
Ｓ【○ｐ＋○，０】

これでｑが消えましたね。

(3)
正方形は縦と横の長さが同じです。
「縦（ｃｍ）＝横（ｃｍ）」の式を作りましょう。
→縦（辺ＰＲ）＝横（辺ＰＱ）

辺ＰＲと辺ＰＱの長さをそれぞれ求めます。
・辺ＰＲ＝Ｐのｙ座標－Ｒのｙ座標
・辺ＰＱ＝Ｐのｘ座標－Ｑのｘ座標
これを「縦＝横」の式に当て嵌め見てください。

No.3 回答者： wakko777 回答日時： 2009/03/25 15:39

（２）Ｐのｘ座標が３なので、ｙ座標は２になりますよね？

　　　よってＰの座標は（３，２）。
　　　次に、線分ＰＱはｘ軸に平行なので、Ｑのｙ座標の値がＰのｙ座標の値と同じですよね？
　　　で、Ｑは直線ｍの線上なので、ｙに２を代入するとｘ座標が求まりますよね？
　　　２＝１／２ｘ＋３
　　　これをといて、ｘ＝－２
　　　よってＱの座標は（－２、２）
　　　なので、線分ＰＱの長さは５ｃｍ。

（３）正方形になるのだから、ＰＭとＰＱの長さが同じになればよい。
　　　Ｐのｘ座標をａと置くと（ａ、－２ａ＋８）
　　　Ｑの座標は（－４ａ＋１０、－２ａ＋８）　（直線ｍの式から）
　　　Ｍの座標は（ａ，０）
　　　線分ＰＱの長さは　５ａ－１０
　　　線分ＰＭの長さは　－２ａ＋８
　　　両方が同じ長さなので　
　　　５ａ－１０＝－２ａ＋８
　　　７ａ＝１８
　　　ａ＝１８／７
　　　よってＰのｙ座標は　－２×１８／７＋８＝２０／７
　　　なのでＰの座標は（１８／７、２０／７）
　　　

No.2 回答者： satomi0718 回答日時： 2009/03/25 15:37

（２）

まず直線Lにx=3をあてはめます。
y=-2×3+8=2　よってP（3,2）
点PとQは同じ高さにあるので、点Q（a,2）
なので直線Mにy=2をあてはめます。
2＝1/2x+3　1/2x＝-1　x=-2　よって点Q（-2,2）

PからQの間は5あるので、5cm

No.1 回答者： bkbkb 回答日時： 2009/03/25 15:36

どこまでわっていてどこからわかりませんか？

全くわからないのでしょうか？