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円の面積を微分すると円周になり、円周を積分すると円の面積になりますが、なぜそのようになるのかを簡単に分かりやすく教えて頂けないでしょうか?

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A 回答 (3件)

こんにちは。



木の断面の年輪や、バームクーヘンの断面の模様を想像してください。
そして、その年輪の1本1本を、輪投げの輪だと思ってください。
そして、中心から順に、輪の長さ(円周)を考えると、
中心から、最外郭の円周に向かうにしたがって、輪投げの輪の長さ(円周)は長くなっていきます。
そのとき、中心からの距離と輪の長さには比例関係が成り立ちます。

つまり、
1本の輪の長さ ∝ 中心からの距離
1本の輪の長さ = 定数 × 中心からの距離
です。

中心からの距離がrのとき、輪の長さは 2πr です。
これを使って上記の式を書き直すと、
1本の輪の長さ = 2π×r
となります。

そして、今度は、1個1個の輪の太さを考えます。
輪の太さ方向は、どの角度から見ても半径方向と同じなので、
輪の太さ = dr
と置くことができます。

よって、1本の輪の面積は、2π×r×dr = 2πrdr となります。


全ての輪の面積を足せば、円の面積になります。
つまり、r=0 から r=最外周の半径 まで足し算(積分)すると、
円の面積になります。

∫[r=0→最外周半径] 2πrdr
 = 2π・∫[r=0→最外周半径] rdr
 = 2π・[r^2/2][r=0→最外周半径]
 = 2π・[最外周半径^2/2 - 0^2/2]
 = 2π・最外周半径^2/2
 = π・最外周半径^2

となります。


これは、球の体積にも応用できて、
ピンポン玉のように、中身が空で、厚さdrの薄皮の球を、(中心から最外郭に向かって)小さいものから大きいものまで考えれば、
薄皮の球の表面積 4πr^2 に厚さ dr を かけて、
r=0 から r=球の半径 まで積分して、
球の体積 = ∫[r=0→球の半径]4πr^2dr
 = 4/3・π・球の半径^3
というふうに公式が導けます。


以上、ご参考になりましたら幸いです。
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この回答へのお礼

大変詳しい御回答をいただきありがとうございます。分かりやすくて非常に参考になりました。

お礼日時:2009/05/28 16:55

家人が筑波大の後期の試験で英文数学の問題にこいつが出たそうです。


微積どちらも同じですが微分の方が簡単なので、
いま中心からr離れた円を描きます。
この面積はπr^2です。
さらにrに比して非常に小さい値Δrだけrより大きい半径の円を描きます。
この面積はπ(r+Δr)^2です。
この二つの円に挟まれた平面の面積は、
π(r^2 + 2rΔr + Δr^2)
になります。
今Δr<<rと決めたので、第3項は無視できます。
この面積がどれだけ増えたか考えると、
πr^2 + 2rπΔr - πr^2 = 2rπΔr
r>>Δrなのでこの面積は幅Δr長さrの長方形の面積と見なすことが可能です。
つまり、半径rがΔr変化したときの面積の変化は2rπΔr
ですから、円周の長さは2rπΔr/Δr=2πr
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この回答へのお礼

大変詳しい御回答をいただきありがとうございます。分かりやすくて非常に参考になりました。

お礼日時:2009/05/28 16:56

内径 r、外径 r + dr (dr << r) の円環の面積 dS が


dS ≒ 2 π r dr = 円周 × dr
であるから、というのでは説明になっていませんか?
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この回答へのお礼

御回答をいただきありがとうございました。参考になりました。

お礼日時:2009/05/28 16:57

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Qなぜ微分したら円の面積が円周の長さになるの?

円S(r,2π)=πr^2を微分したら、なぜ円周の長さ2πrに等しくなるのでしょうか?
たしか、微分は接線の傾きを求めるものだったと思うのですが。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

回答は他の方の通りなのですが、まず、

>>微分は接線の傾きを求めるもの

という固定観念を捨てましょう。

微分というのは、「ある2つの量の関係があったときに、一方がほんの少しだけ(厳密には、無限小だけ)変化したら、もう一方はどのくらい変化するか」を表したものです。

「ある2つの量」が、たまたま「座標平面上のxとy」だった時に、微分は接線の傾きになります。(あくまでも、たまたまです)

今回の場合、「ある2つの量」が、「半径と面積」であるため、微分は「半径がほんの少しだけ変化したら面積はどのくらい変化するか」を表すことになり、他の方の回答のように、面積の少しだけの変化は、「極めて細い円環」になり、それは円周の長さに等しくなるわけです。


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