ガロア体 GF(2^4) では、

(1,0,1,0)x(0,1,1,0) = (1,0,0,1)

となるそうです。
計算方法がわからないのでご教示よろしく願います。

A 回答 (1件)

GF(2)上の4次式x^4 + x + 1 が原始多項式になっていることに注目して


α^4 + α + 1= 0
なる元αを導入すれば、αのべき乗と0によって、高々3次の多項式
a3α^3 + a2α^2 + a1α + a0
のすべてが、すなわちGF(2^4)が、生成できる。この係数を並べた(a3, a2, a1, a0)でGF(2^4)の元を表現することにして、α^kと(a3, a2, a1, a0)の対応表を作ってみるとよい。
(たとえばhttp://chichiue.hahaue.com/gf.htmlにかいてある)。要するに掛けてα^4がでてきたら、それをα+1で置き換えていくだけ。
このようにして、
(1,0,1,0)×(0,1,1,0)=α^9 α^5 =α^14= (1,0,0,1)
になることがすぐにわかる。
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この回答へのお礼

素晴らしい回答です。
ありがとうございます。

お礼日時:2009/05/29 10:45

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Qガロア体

今友達が暗号化の勉強をしていて,ガロア体が分からないそうです.ぼくもよくわからないので,誰か分かりやすいHPを知っていたら教えてください.

Aベストアンサー

雑過ぎたので多少雑ですが修正します。

pを素数とすると
GF(p)は{0,1,2,・・・,p-1}
からなります。
掛け算は
x,y∈GF(p)とするとx・yをpで割った余り
逆元は
x∈GF(p)とするとx・yをpで割った余りが1になるyでありyをx^(-1)とかく
割り算は
x,y∈GF(p)とするとx・y^(-1)をpで割った余り
足し算は
x,y∈GF(p)とするとx+yをpで割った余り
引き算は
x,y∈GF(p)とするとx+p-yをpで割った余り
{0,1,2,・・・,p-1}に掛け算と足し算を以上のように定義すれば体になることは簡単に証明できます。

g(x)をGF(p)の元を係数とするn次既約多項式とすると
GF(p^n)はGF(p)の元を係数とするn次未満の多項式全体で表現されます。
GF(p)のときと同じようにpの代わりにg(x)を使って掛け算や足し算を定義すれば良いのです。
なおg(x)を原始多項式に選べば
多項式xのべき乗で0以外のすべてのGF(p^n)の元(p^n-1個しかない)を表現することができます。
以上はGF(p^n)の多項式表現ですが多項式の係数の並びで表現したものがGF(p^n)のベクトル表現です。

雑過ぎたので多少雑ですが修正します。

pを素数とすると
GF(p)は{0,1,2,・・・,p-1}
からなります。
掛け算は
x,y∈GF(p)とするとx・yをpで割った余り
逆元は
x∈GF(p)とするとx・yをpで割った余りが1になるyでありyをx^(-1)とかく
割り算は
x,y∈GF(p)とするとx・y^(-1)をpで割った余り
足し算は
x,y∈GF(p)とするとx+yをpで割った余り
引き算は
x,y∈GF(p)とするとx+p-yをpで割った余り
{0,1,2,・・・...続きを読む

Qガロア体の逆元計算について

私は今、AES暗号の勉強をしているのですが、ガロア体の所でつまづいています。

ガロア理論での逆元はx∈GF(p)のとき、
GF(p)でx * y が1になる時のyがxの逆元だと思うのですが、
下記のページの上から1/6ぐらいの場所にある逆数変換テーブルを見る限り、
この方法では求められないような気がします。

このページでは16進数の53の逆元を計算しているので、10進数では83になります。
(83 * 219 - 1 )/256= 0なので、53の逆元は219かなと思ったのですが、
以下のページでは16進数のCAで、10進数では202になってしまいます。

私は、どこで間違っているのか、指摘していただけないでしょうか。

http://bw-www.ie.u-ryukyu.ac.jp/~wada/design04/spec_j.html

Aベストアンサー

ガロア体を勉強しましょう
むちゃくちゃなことをしていますぞ

GF(2^8)の元を2つかける時に
それらの元をそれぞれ十進数にして整数の掛け算をしてはいけません

aとbをかけるには
aの多項式表現を作り
bの多項式表現を作り
それら多項式を多項式として掛け算し
参考のページにのっている既約多項式でその結果を割った余りを求め
その余り多項式の係数を並べて16進表現をだすのである
a逆元をもとめるには
aに0を除く255個の元すべてを上の方法でかけてみて1(上の意味で0x01)になるものを選べばいいのです

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Qガロア体の除算について

f(x)={1/5(x-5)(x-8)-7/6(x-3)(x-8)+1/5(x-3)(x-5)}(mod 11)
(法は11)という方程式があるのですが、

答えは
f(x)=4x^2+9x+5と
なっております。

x^2についてまとめていったら
{(-23/30)x^2 (mod 11)}になりました。

この後の操作はどのようにしていけばいいのでしょうか?
自分で考えた方法では、以下の通りに操作してのですが答えが合いません。お手数ですがご教授してくださらないでしょうか?

={(-23)*(30)^(-1) * (x^2) } (mod 11)
={(-23)*(30) * (x^2) } (mod 11)
={(-690) * (x^2) } (mod 11)
={(-8) *(x^2) } (mod 11)
=3*x^2 (mod 11)

Aベストアンサー

誰が、何を教えたのか…
1/30 = 30 (mod 11) は、成立しない。

1/30 = (1 + 11・19)/30 = 210/30 = 7 と
23 = 1 + 11・2 とより、
-23/30 = -1・7 = 11 - 7 = 4。


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