「ピークの鋭いスペクトルに対し、最大エントロピー法では積分スペクトルを求めなければならない」ようですが、何故でしょう?

A 回答 (2件)

最大エントロピー法(MEM)におけるスペクトルは,パワースペクトル密度関数と自己相関関数との関係式であるWiener-Khintchineの公式の制約のもとでエントロピーが最大になるという条件を課すことで導出されます.すなわち,MEMでいうスペクトルとはパワースペクトル密度関数のことです.


パワースペクトル密度関数とは周波数 f に対する成分波の単位時間あたりの平均エネルギー(すなわちパワー)の連続的な分布を表すものです.ある周波数帯のパワースペクトルはその周波数帯に分布するパワースペクトルの面積で与えられます.
以上の定義から言って,対象とする時系列データのスペクトルが鋭いかどうかには関係なく,本質的にはMEMでは積分スペクトルを求めなくてはならないと思います.ただ,もしもスペクトルがなだらかなものであれば,わざわざ積分をしなくても,その周波数帯のパワーは縦軸の値から一目瞭然に分かる,ということではないでしょうか.
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これは、物理の問題ではないと思います。


一般にサンプリングする変数の間隔が荒いと、鋭いピークの確率分布を
用いて十分に素性の期待値を求めることは難しくなります。
この場合、積分スペクトルを用いることの意義は、積分測度を更に緻密
にすることによって、単にサンプリングの見落としを防ぐ必要性が
問われてるものと考えます。

参考URL:http://www.nak.ics.keio.ac.jp/~kichiku/maxent.html

この回答への補足

仰せの通り、物理の問題ではありません。信号処理、情報科学等が適当だと思い、科学のカテゴリーで投稿したのですが回答がなかったためか、物理学のカテゴリーに移動されました。
それはさておき、回答有難うございます。でも指摘の内容は私の理解を越えてます。私が知りたいのは、「スペクトル解析」(朝倉書店、日野幹雄著)の223ページに記述されている「スペクトルが鋭いピークを持つ場合、MEMスペクトルの極値はこの周波数のパワーの2乗に比例し、MEMスペクトルのバンド幅はパワーに逆比例する。したがって、スペクトルはMEMスペクトルの積分で与えられる。しかし、スペクトルがなだらかな場合は、MEMは普通の方法(Blackman-Tukey法、FFT法)と同じ結果となる」という件の理由です。
指摘の内容はその本質的な答えなのかもしれませんが、ピンと来ません。

補足日時:2001/03/14 17:02
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Q情報エントロピーと最大エントロピー法

情報エントロピーというものがあるらしいのですが、なんでしょうか。熱力学などででてくるエントロピーは知っていますが、情報エントロピーはイメージできません。
長期的に時間変化する量(天文学や地質学などの観測データ)の数学的解析法である最大エントロピー法(MEM)を理解する上で必要な概念なのですが、分かりません。
そもそもこの概念がどの分野に属するのかすら分かりません。
誰かご存じの方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

 エントロピーは熱力学等の物理分野において,あるシステムに許容される位相の量や状態の数の対数として定められ、不規則性または無秩序さの度合いを示すものでした。これより,情報理論では未知であることの度合い表すものとして導入されました。
 ある事象がとり得る状態がn個あり,各々の事象の生じ得る確率をpk(k=1,2,・・・,n)とすると,この中の事象kが生じたときの情報量Ikは

Ik=log(1/pk)  (対数の底は2)

となります。事象kが起こりやすいほど(pkが1に近いほど)情報量は0に近くなり,逆に起こりにくいほど大きくなります。情報エントロピーは「一回の試行により得られであろう情報量の期待値」として

H=Σpk・Ik=Σpk・log(1/pk)=-Σpk・log(pk)

で定義されます。すべての事象が起こる確率が同様に確からしく,1/nならば
H=lognとなり,確率に偏りがある場合のエントロピーよりも大きくなります。

MEM法はこの情報エントロピーの概念に基づき解析法で,実質的には赤池による「自己回帰式によるスペクトル推定法」と同一です。自己回帰式によるスペクトル推定法は理解が容易で計算もし易いのでこちらから勉強するのがいいと思います。次の文献を紹介します。

日野幹生:「スペクトル解析」,朝倉書店,1977, ISBN 4-254-12511-9

 MEM法は短い時系列データからも分解能の高いスペクトル推定が可能といわれており,私の経験からもそうですが,データの質によって落とし穴があることが次の文献に出でいます。この本はいくつかのMEMのアルゴリズムに関してそれぞれBASICのプログラムが添付されていて,アルゴリズムを理解するのに最適です。

青木由直:「BASIC数値計算法(改訂版)」,コロナ社,1984
ISBN 4-339-02321-3

以上参考になれば幸いです。

 エントロピーは熱力学等の物理分野において,あるシステムに許容される位相の量や状態の数の対数として定められ、不規則性または無秩序さの度合いを示すものでした。これより,情報理論では未知であることの度合い表すものとして導入されました。
 ある事象がとり得る状態がn個あり,各々の事象の生じ得る確率をpk(k=1,2,・・・,n)とすると,この中の事象kが生じたときの情報量Ikは

Ik=log(1/pk)  (対数の底は2)

となります。事象kが起こりやすいほど(pkが1に近いほど)情報量は...続きを読む

Qパワースペクトルとは?

パワースペクトルについて説明してくださいと先生に言われました。
全くわからない人に説明するので端的にわかりやすく説明したいのですが誰かできる人はいませんか?ちなみにぼくも詳しいことは全然わかりません。
本などを見ても式があったりしてそれをまた理解することが出来ません。
なんかイメージがわくような方法はないですかね?

Aベストアンサー

スペクトルとは、独立な成分それぞれについての強さをグラフにしたものです。
光の場合、光の種類を色で分類する事ができます。光といっても、その中に青はどれくらい、オレンジはどれくらいとそれぞれの色に応じて強さがあります。
光をそれぞれに分ける方法は、たとえばプリズムがあって、光をプリズムに通すといろいろな色にわかれてみえます。

ニュートンはプリズムを使った実験で有名です。一つ目のプリズムで光を分光し、赤と青の光を残して他の光を遮り、赤と青を二つ目のプリズムやレンズで一つにまとめました。その後でもう一度プリズムを通すと、いったんまとめたのにやはり赤と青しかでてこないのです。これから光の色の独立性(赤や青は、混ざらないものとして独立に扱って良い、ということ)がわかります。

このように色にはそれぞれを別々に扱ってもよいので、色ごとに物事を考えると分かりやすくなります。この色ごとについての強度を「光のスペクトル」、といいます。
強度はふつう「時間当たりに光りが運ぶエネルギー」(パワー)で表すので、この時は「パワースペクトル」です。

こんなふうに物事を自然な「成分(光の時は色)」にわけて考えた物がスペクトルです。詳しくは座標とフーリエ成分の関係について(フーリエ変換について)勉強するといいと思います(電磁場の実空間の振動とフーリエ空間上での振動の対応として)。

スペクトルとは、独立な成分それぞれについての強さをグラフにしたものです。
光の場合、光の種類を色で分類する事ができます。光といっても、その中に青はどれくらい、オレンジはどれくらいとそれぞれの色に応じて強さがあります。
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ニュートンはプリズムを使った実験で有名です。一つ目のプリズムで光を分光し、赤と青の光を残して他の光を遮り、赤と青を二つ目のプリズムやレンズで一つにま...続きを読む

QFFT・PSDの縦軸は何を意味するのでしょう?

加速度計測の結果について、PSD(パワースペクトラムデンシティ)をかけた場合、その縦軸の意味を教えてください。
また、FFTとPSDはどういう違いが有るのでしょうか?
これまでは、周波数の分布のみに着目していました。
どなたか、わかりやすく教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

一般に加速度センサー信号の出力は電圧です。

縦軸は係数をかけていない状態では#1さんがおっしゃるように計測した電圧の値を示しています。

よって、縦軸に物理的な意味を持たせるのには、電圧と加速度の間の換算係数をかけてやる必要があります。

フーリエ解析は時刻歴波形は正弦波の組み合わせで構成されるという仮定の下で計算を行っています。FFTの結果は横軸で示される周波数の正弦波の振幅を示しています。
電圧と加速度の換算係数をかけてやると、FFTの縦軸はその周波数成分を持つ加速度振幅を示しています。

ここで1つ問題があります。FFTはサンプリング周波数により分解能が変わります。FFTによる周波数分析は正確にいうと、離散値なので、ジャストの周波数のもをだけを表しているのではなく、ある範囲の周波数範囲にある成分を表しています。
このため分解能が変わると周波数範囲が変わり、同じ波形を分析しても振幅が変わります。
これでは分解能が異なるデータ同士は比較できないなどの問題が生じます。
そのため、周波数幅で振幅を基準化して、1Hzあたりの振幅としたものがPSDです。
PSDならサンプリング周波数が異なるデータ同士の比較ができます。

要はフーリエ振幅(FFT)はサンプリング周波数・分解能により変わる値であり、PSDはそのようなことのないように周波数幅で基準化した値という差があります。

なお、2乗表示したものをパワースペクトルと呼び、それを周波数で基準化したものをPSDと呼びますが、PSDは表示方法によって2乗した状態のあたいを表示(パワー表示)するときと、2乗した値の平方根を計算して表示することがありますので、使用する際には縦軸の表示方法については要注意です。

一般に加速度センサー信号の出力は電圧です。

縦軸は係数をかけていない状態では#1さんがおっしゃるように計測した電圧の値を示しています。

よって、縦軸に物理的な意味を持たせるのには、電圧と加速度の間の換算係数をかけてやる必要があります。

フーリエ解析は時刻歴波形は正弦波の組み合わせで構成されるという仮定の下で計算を行っています。FFTの結果は横軸で示される周波数の正弦波の振幅を示しています。
電圧と加速度の換算係数をかけてやると、FFTの縦軸はその周波数成分を持つ加速...続きを読む

Qピークの検出方法

ある離散時系列データf(x)があったとき、単純に考えれば
f'(x)=f(x+1)-f(x)<0.0001,f''(x)=f'(x+1)-f'(x)<0
となるxを求めればピークのxが検出できると思いますが、
f(x)が滑らかでない場合はどんな方法でピークが検出できますでしょうか?

Aベストアンサー

>f'(x)=f(x+1)-f(x)<0.0001, f''(x)=f'(x+1)-f'(x)<0 ....

基本はこれでOKなので、「f(x)が滑らかでない場合」に引っかかりそうなケースを考えてみましょう。

[誤検出しそうな例]
(1) サンプリングしたデータでは、ピークでの増分が 0.0001 未満とは限らない。(つまり、とんがり気味のピークは検出できない)
(2) 真のピークではなく、裾野の細かいうねりまで検出するおそれがある。

[対策例]
(1) 単純に、f'(x)が正から負へ極性反転したらピークとみなす。
(2) #1 さんの「平滑化」処理を適用する。
(2)' あるいは、f'(x)が正から負へ極性反転したピークの高さに閾値を設定しておく。(つまり、細かなピークは無視する)

ピーク検出には、適用分野に応じたノウハウが多数あるようです。

Qクロススペクトルと相互相関関数の違い。

クロススペクトルの逆フーリエ変換は相互相関関数と等しく、相互相関関数のフーリエ変換はクロススペクトルとなることは理解しています。

では、入出力の相関を見る時、クロススペクトルを用いるメリットはどのような点にあるのですか?
また、クロススペクトルと相互相関関数では用法や目的に違いがあるのでしょうか?

ご存知の方がいましたら教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

> ただ、クロススペクトルを用いる利点についてです。

Power spectral density は cross spectral density の input = output なる special case ですから、filter の例で説明になってます。

> 更なる説明を

詳しい例です。

参考URL:http://en.wikipedia.org/wiki/Coherence_%28signal_processing%29

Q二つのデータの波形が似てるかどうかの判定方法

以前、物理学の方で質問させて頂いたのですが、教えて頂いた方法で上手くできなかった為、こちらの方で再質問させていただきます。


波形解析について初心者の為、分かりづらいかもしれませんが宜しくお願い致します。

例えば、Excel等で単位の異なる二系列の折れ線グラフを描画したとします。

この二つのデータの波形が、どれくらい似ているかを調べるにはどの様な方法があるでしょうか。

解析ツール等を使うという方法ではなく、具体的な計算方法を教えて頂きたいのです。

二つの波形間を積分して、その面積を求めれば良いのか、フーリエ解析をすれば良いのか。。。等など通常はどのように解析しているのか、考えても良く分かりません。

どうぞ宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

二つのデータに関係性があるかどうかという指標として、統計で用いる相関係数というものがあります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E9%96%A2%E4%BF%82%E6%95%B0

二つの波形の時間ごとのデータをそれぞれ
  A[i] = A[1],A[2],A[3],...,A[n]
  B[i] = B[1],B[2],B[3],...,B[n]
としましょう。

もしもA,Bがまったく同じデータであれば
すなわちA[i]=B[i]ならば
その相関係数Sは1になります。

 A[i]大→B[i]大 , A[i]小→B[i]小
といった関係が強いほど相関係数は1に近づき、そのような関係がないとき相関係数は0に近づくので、二つの波形の評価に使うことが出来ます。

さらにA[i+d]とB[i]の相関係数を見ると
Aの波形を時間軸にそってdだけずらした波形とBの波形の関係を見ることになります。
これが1に近ければ、波形A,Bは時間dだけずれて形が似ているということになります。

さらに余談ですが、A[i]とA[i]の相関係数は1になりますが、もしもA[i]とA[i+d]の相関係数が1に近ければ、すなわちそれはAの波形とAをdだけずらした波形は似ているということになり、Aは周期dで周期性を持つことが示せます。

二つのデータに関係性があるかどうかという指標として、統計で用いる相関係数というものがあります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E9%96%A2%E4%BF%82%E6%95%B0

二つの波形の時間ごとのデータをそれぞれ
  A[i] = A[1],A[2],A[3],...,A[n]
  B[i] = B[1],B[2],B[3],...,B[n]
としましょう。

もしもA,Bがまったく同じデータであれば
すなわちA[i]=B[i]ならば
その相関係数Sは1になります。

 A[i]大→B[i]大 , A[i]小→B[i]小
といった関係が強いほど相関係数は1に近づき、そのような...続きを読む

Qエクセル STDEVとSTDEVPの違い

エクセルの統計関数で標準偏差を求める時、STDEVとSTDEVPがあります。両者の違いが良くわかりません。
宜しかったら、恐縮ですが、以下の具体例で、『噛み砕いて』教えて下さい。
(例)
セルA1~A13に1~13の数字を入力、平均値=7、STDEVでは3.89444、STDEVPでは3.741657となります。
また、平均値7と各数字の差を取り、それを2乗し、総和を取る(182)、これをデータの個数13で割る(14)、この平方根を取ると3.741657となります。
では、STDEVとSTDEVPの違いは何なのでしょうか?統計のことは疎く、お手数ですが、サルにもわかるようご教授頂きたく、お願い致します。

Aベストアンサー

データが母集団そのものからとったか、標本データかで違います。また母集団そのものだったとしても(例えばクラス全員というような)、その背景にさらならる母集団(例えば学年全体)を想定して比較するような時もありますので、その場合は標本となります。
で標本データの時はSTDEVを使って、母集団の時はSTDEVPをつかうことになります。
公式の違いは分母がn-1(STDEV)かn(STDEVP)かの違いしかありません。まぁ感覚的に理解するなら、分母がn-1になるということはそれだけ結果が大きくなるわけで、つまりそれだけのりしろを多くもって推測に当たるというようなことになります。
AとBの違いがあるかないかという推測をする時、通常は標本同士の検証になるわけですので、偏差を余裕をもってわざとちょっと大きめに見るということで、それだけ確証の度合いを上げるというわけです。

QEXCELで線形自己回帰分析どこまでできるか

ソフト   : エクセルだけ。
時系列データ: 為替レート(10年分、毎日)
     (別に、何でもいいのですが、為替にしましょう)。

例えば、アメリカドル・日本円などの為替レートの水準には、根拠があまりないように思います。121円だろうと、120円だろうと、別に皆が、そう考えているだけであって。

だからこそ、次の瞬間に何銭位動くのか、ということの何かしらの根拠みたいなものを人間は求めます。つまり、過去が118円だったとか、つい最近は119円だったとか、昨日は120円50銭だったとか、あまり遠い昔よりもつい最近とか、14日間の移動平均でどれくらいだったとかチャートにすることもあるでしょう。

ということは、ある程度、自身の過去データが説明変数となっているように解釈するのが自然と考えました。

それで、エクセルを使って、どうやって行えばいいのでしょうか。
重回帰分析でいいのでしょうか。
次数pの決定に赤池情報基準を使うそうですが、それはエクセルでどのように可能なのでしょう。

別に為替レートでなくてもいいです。

 

ソフト   : エクセルだけ。
時系列データ: 為替レート(10年分、毎日)
     (別に、何でもいいのですが、為替にしましょう)。

例えば、アメリカドル・日本円などの為替レートの水準には、根拠があまりないように思います。121円だろうと、120円だろうと、別に皆が、そう考えているだけであって。

だからこそ、次の瞬間に何銭位動くのか、ということの何かしらの根拠みたいなものを人間は求めます。つまり、過去が118円だったとか、つい最近は119円だったとか、昨日は120...続きを読む

Aベストアンサー

統計で言う自己回帰モデルは【定常性の仮定】が入るので重回帰では解けませんが(Yule-Walker方程式を解く)、ここではそういった細かいことを考えずに、過去の情報を用いてモデルを作成するにはどうしたらよいか?という風に解釈して回答します。※エクセルに自己回帰モデルがあったかどうか走りません。

Excelで簡単に行なうには、ある系列のデータがA列にあった場合、
それを1行シフトしたデータをB列に、、、、という風にして時間をずらしたデータを隣の列に作成していくと、
 A,B,C,D
 10,,,
 11,10,,
 12,11,10,,
 13,12,11,10

のようなデータが作成されるので、A列をB以降の列を用いて回帰すれば希望の処理になるかと思います。ただし、空欄になる行は捨ててください。回帰には使用できません。

QFFTにおけるゼロ追加、補間や分解能について

FFT解析で、時間軸データの後にゼロをつけると、周波数分解能が上がることは数値計算で確認しましたが、次の場合のやり方がわかりませんので教えていただけないでしょうか。
1. 周波数軸データの後にゼロをつけて最高周波数をあげ、逆変換して刻み時間を細かくしたいのですが、ゼロの配置は共役関係やナイキスト周波数を考えるとどういう風になるのでしょうか。
2. 周波数軸データの値を内挿すると周波数分解能が上がり、逆変換すると結果として時間軸の継続時間が長くなるように思うのですが、それでよいのでしょうか。またその場合、良い内挿の方法はあるのでしょうか。
3. 以上に関するURLや書籍を紹介していただけないでしょうか。

Aベストアンサー

「時系列の中央部分がゼロに近い」の「中央部分」とは、「IFFTをしたときに得られる、t=0からt=周期までサンプル値を並べた配列の中央付近」ってことですね。周波数空間で応答関数を表現したものが滑らかであればそうなる。応答関数もそれをIFFTしたものも、持っている情報量は同じなので、こりゃしょうがないです。補間をしないで(半分の点数で)IFFTして得られるのは時系列のエリアス(つまり、時系列を周期の整数倍だけ時間軸上でずらしたものを全部の整数について合計したものの一周期分)であって、それ以上のことは情報がないから分からない。
 もしも何か別の拘束条件があるのなら、一応、手がない訳ではありません。すなわち、拘束条件によって時系列関数としてあり得る関数が絞られるから、その中から解を探すんです。しかしこの手(「超解像」という)は誤差に極めて敏感で不安定であり、だから応答関数の精度が非常に良いと保証できる場合でない限り使えません。(10時間掛けて計算するぐらいだから、そんな保証はタブンできないでしょう。)拘束条件がないのなら、せいぜい例えば「FFTしてサンプルを間引いたときに応答関数に一致するような時系列のうちで、ノルムが最小であるもの」を「一例として」構成してみせるぐらいが関の山です。

 なお、もしもご質問が「時系列のうち、後端ならともかくヨリニヨッテ中央部分が抜けるのが困る(「後端部分はどうせゼロに近い」とアプリオリに分かっていて、だからIFFTでドンナ値が出ようと誤差に過ぎないと考えて利用しない)」という話であるのなら、それは時間軸の原点の位置がまずいだけかも知れません。すなわち、ひょっとすると「応答関数を細かく計算するとギザギザしていて、それを1点おきに間引いてから補間したためにギザギザが失われ、IFFTすると時系列が時間軸上で周期/2だけずれて現れる」という現象なのではないか。
 どういうことかと言いますと、ある滑らかな応答関数をIFFTして得た時系列(中央部分がほとんど0)を考え、その時系列を時間軸上で周期/2だけ平行移動したとします。それをFFTして得られる応答関数はギザギザに振動していてでも1点おきに間引くと元の滑らかな応答関数の格好になる(。で、これを10時間掛けて計算したのだとしましょう)。この、間引いた物(滑らかな応答関数)を普通のヤリカタで補間して得られるものも当然滑らかであり、これをIFFTすると、最初の時系列(中央部分がほとんど0)、つまり時間軸上で周期/2だけずらす前の物に(ほぼ)戻ってしまう。
 もしそういうことが起こっているのだとすると、計算なさった時系列の後端部分はゴミなんかじゃなく、それを前端部分の前にくっつけたものこそが時系列の本来の姿ということになります。

 またしても滑ってるかも知れませんが…

「時系列の中央部分がゼロに近い」の「中央部分」とは、「IFFTをしたときに得られる、t=0からt=周期までサンプル値を並べた配列の中央付近」ってことですね。周波数空間で応答関数を表現したものが滑らかであればそうなる。応答関数もそれをIFFTしたものも、持っている情報量は同じなので、こりゃしょうがないです。補間をしないで(半分の点数で)IFFTして得られるのは時系列のエリアス(つまり、時系列を周期の整数倍だけ時間軸上でずらしたものを全部の整数について合計したものの一周期分)であって、それ以上...続きを読む


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