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exp(π)-π=19.999099979...

といったふうに、整数に近い値になります。

このように、無理数を使って、簡単な演算で無理数なんだけど(或は無理数らしい)、
その値いが整数、或は、有理数に近くなる例は、他にないですか?

A 回答 (9件)

質問の意図とは違うかもしれませんが、「もっとも美しい比率」といわれる黄金比1:(1+√5)/2 は無理数ですが、フィボナッチ数列


0,1,1,2,3,5,8,...
(a_n=a_(n-1)+a_(n-2) )
の隣り合う項の比 a_n:a_(n+1) の極限になりますので、nが大きくなるにつれて、この有理数は黄金比に近づきます。
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演算であらわせば、aを無理数である定数とします。

Nを自然数とします。
x=1-a/N
とすれば、xも無理数になります。で、Nを大きくすれば、xはいくらでも1に近づけます。
・・・でも、これはつまらない例ですね(^^;。
質問者様はもっと面白い例が欲しいのでしょうが、なかなか思いつきません。すみません。<(_O_)>。
eのπ乗引くπのe乗は、結構0に近いかも・・・。
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この回答へのお礼

2001年出題なのにありがとうございました。
ラマヌジャンはそういった数をいくつも示したようですね。

お礼日時:2009/12/15 17:18

0.999...という形で、ある桁以後が...314159...と円周率の形になっていれば、循環小数にならないので、無理数ですね。


9の数を増やせば1にいくらでも近づけます。(だんだん自信がなくなってきましたが)。
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すみません。

前の答えは間違いです。これは一種の循環小数なので有理数です。
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0.999...という具合に小数点以下9が並んでいるが、どこか1桁だけ、9ではない、という無限小数を考えることができます。

循環小数ではないので無理数ですね。
その桁が小数点以下第n桁目の場合、nを大きくすれば、いくらでも1に近い無理数を考えることができます。
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こんなのもありました。



http://documents.wolfram.com/framesv4/frames.html
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uzo様ご指摘の数は。


exp(π*√163)=2625374126040768743.9....(9が12桁続く)

[{log(640320^3+744)}/2]^2=163.0....(0が28桁続く)
です。

「オイラーの贈り物」は良い本です、私も未読の方にはお勧めしたい。
uzo様割りこみ失礼いたしました。
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http://www.imai.gr.jp/japanese/vector/no0041.html には、

「 ei・π=-1 故に神は存在する??? 」

とすごい証明がされていました。
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今、手元にないのですが


吉田武『オイラーの贈り物』海鳴社

の中に
いくつかこのような数がでていたのを記憶しています。

なかなか感動的でした。
この本、4・5年前?にでた一般向け数学書では
ベストセラーなので、比較的入手しやすいと思います。
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