有理数みたいな無理数

exp（π）-π＝１９.９９９０９９９７９...

といったふうに、整数に近い値になります。

このように、無理数を使って、簡単な演算で無理数なんだけど（或は無理数らしい）、
その値いが整数、或は、有理数に近くなる例は、他にないですか？

No.9 回答者： taparon 回答日時： 2009/11/09 18:24

質問の意図とは違うかもしれませんが、「もっとも美しい比率」といわれる黄金比1:(1+√5)/2 は無理数ですが、フィボナッチ数列

0,1,1,2,3,5,8,...
(a_n=a_(n-1)+a_(n-2) )
の隣り合う項の比 a_n:a_(n+1) の極限になりますので、nが大きくなるにつれて、この有理数は黄金比に近づきます。

No.8 回答者： taparon 回答日時： 2009/10/11 13:57

演算であらわせば、aを無理数である定数とします。

Nを自然数とします。
x=1-a/N
とすれば、xも無理数になります。で、Nを大きくすれば、xはいくらでも1に近づけます。
・・・でも、これはつまらない例ですね(^^;。
質問者様はもっと面白い例が欲しいのでしょうが、なかなか思いつきません。すみません。<(_O_)>。
eのπ乗引くπのe乗は、結構0に近いかも・・・。

この回答へのお礼

２００１年出題なのにありがとうございました。
ラマヌジャンはそういった数をいくつも示したようですね。

お礼日時：2009/12/15 17:18

No.7 回答者： taparon 回答日時： 2009/09/20 11:57

0.999...という形で、ある桁以後が...314159...と円周率の形になっていれば、循環小数にならないので、無理数ですね。

9の数を増やせば1にいくらでも近づけます。（だんだん自信がなくなってきましたが）。

No.6 回答者： taparon 回答日時： 2009/09/20 11:54

すみません。

前の答えは間違いです。これは一種の循環小数なので有理数です。

No.5 回答者： taparon 回答日時： 2009/09/20 11:52

0.999...という具合に小数点以下9が並んでいるが、どこか1桁だけ、9ではない、という無限小数を考えることができます。

循環小数ではないので無理数ですね。
その桁が小数点以下第n桁目の場合、nを大きくすれば、いくらでも1に近い無理数を考えることができます。

No.4 回答者： noname#16572 回答日時： 2001/03/19 10:46

こんなのもありました。

http://documents.wolfram.com/framesv4/frames.html

No.3 回答者： noname#16572 回答日時： 2001/03/16 21:49

uzo様ご指摘の数は。

exp(π*√163)=2625374126040768743.9....(9が12桁続く)

[{log(640320^3+744)}/2]^2=163.0....(0が28桁続く)
です。

「オイラーの贈り物」は良い本です、私も未読の方にはお勧めしたい。
uzo様割りこみ失礼いたしました。

No.2 回答者： ryouchi 回答日時： 2001/03/16 10:35

http://www.imai.gr.jp/japanese/vector/no0041.html には、

「　ｅｉ・π＝－１ 故に神は存在する？？？　」

とすごい証明がされていました。

No.1 回答者： uzo 回答日時： 2001/03/16 09:27

今、手元にないのですが

吉田武『オイラーの贈り物』海鳴社

の中に
いくつかこのような数がでていたのを記憶しています。

なかなか感動的でした。
この本、４・５年前？にでた一般向け数学書では
ベストセラーなので、比較的入手しやすいと思います。