エネルギー解法率と応力拡大係数について

エネルギー解法率を応力拡大係数を用いて表す場合，
なぜ，平面応力状態ではポアソン比を使わずに表現し，
平面ひずみ状態ではポアソン比を使って表現することになるのでしょうか?

教えてください．

G＝((1-ν^2)K^2)/E 平面ひずみ

G＝(K^2)/E 平面応力

教えてください．宜しくお願いします．

No.1 ベストアンサー 回答者： h191224 回答日時： 2009/10/04 00:54

これは、平面応力の状態での式が与えられていれば、平面歪の場合の式は、

Ｅ→Ｅ/(１－ν^2)　…　(1)
ν→ν/(１－ν)　…　(2)
という置き換えを行うことによって得られることを知っていれば、当然の結果として受け入れられるものです。
このことについては、少し高等な材料力学の本を読めば、必ず書いてあります。

Ｇの表示式を平面応力について眺めてみると、
Ｇ＝Ｋ^2/Ｅ　…　(3)
と与えられていますから、
平面歪での式は、(1)式を適用して、
Ｇ＝(１-ν^2)・Ｋ^2/Ｅ　…　(4)
となり、解決です。

もう少し、今の問題について、詳細に（なるかどうかはわかりませんが）説明すると、、、

歪エネルギーＵは、応力σと歪εを用いて、
Ｕ＝∫σ・εｄＶ
と表され、歪エネルギー解放率Ｇは、Ｕのき裂長さａに対する増分
Ｇ＝ｄＵ／ｄａ
として定義されます。

ここで、簡単のため、単一材料に外力が与えられた場合の、モードIだけを考えることにします。
き裂先端近傍の応力分布は、材料定数には無関係であって、外力だけで決まります。
しかし、歪は変位の微分で与えられ、変位には弾性係数もポアソン比も関係してくるため、平面応力と平面歪では、式も異なってきます。
これをＧについて考えると、σとａは、平面応力と平面歪での相違はなく、εのみ相違があるわけです。
このことを考慮しつつ、Ｇを求める演算過程を、平面応力の場合と平面歪の場合とで、それぞれ辿れば、(3)と(4)が導出されます。