さっそくですが、質問させていただきます。
[x]+[x+1/3]+[x+2/3]=[3x]を示せ
という問題ですが、
参考書によると、実数xの整数部分を[x]とおくとき、上の式が成り立つことを示すには、xの整数部分をn、少数部分をα(0≦α<1)とおいて、x=n+αとし、
また、左辺の第2、3項の形から
ⅰ)0≦α<1/3
ⅱ)1/3≦α<2/3
ⅲ)2/3≦α<1 で場合分けして、調べなければならい、と
あります。
どうして、上の場合分けが必要なのか、理解が出来ないのです。
お分かりの方、どうかどうか教えて戴けないでしょうか。
よろしく、お願いいたします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
x「自身」の整数・小数部分と
x+1/3、x+2/3の整数・小数部分とが違ってくることに注意しないといけません。
i)0≦α<1/3
αが1/3よりも小さければ、1/3+α<1、2/3+α<1であることがわかります。
つまり、x+1/3、x+2/3の整数部分は、xと同じ [x]になります。
ii)1/3≦α<2/3
1/3+α<1ですが、1≦2/3+αとなります。
xと x+1/3の整数部分は同じですが、
x+2/3の整数部分は [x+1]となり、小数部分は 2/3+α-1= α-1/3となります。
iii)2/3≦α<1
1/3+α、2/3+αともに、1以上になってしまいます。
あとは、ii)と同様です。
数直線上で点をとってみると、よりわかりやすいかと思います。
有難う御座いました。
数直線上およびグラフで考えたところ、スッキリしました。
私の過去の疑問は、場合わけのパターンで、
例えば、ⅰ)0≦α<1/2とⅱ)1/2≦α<1とかで、場合分けがなぜ出来ないというものでした。
ⅰ)場合ですと、0≦α<1/3と1/3≦α<1/2で右辺の値が違ってくることが当然で、荒唐無稽な場合分けです。
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