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さっそくですが、質問させていただきます。

[x]+[x+1/3]+[x+2/3]=[3x]を示せ

という問題ですが、
参考書によると、実数xの整数部分を[x]とおくとき、上の式が成り立つことを示すには、xの整数部分をn、少数部分をα(0≦α<1)とおいて、x=n+αとし、
また、左辺の第2、3項の形から
ⅰ)0≦α<1/3
ⅱ)1/3≦α<2/3
ⅲ)2/3≦α<1 で場合分けして、調べなければならい、と
あります。

どうして、上の場合分けが必要なのか、理解が出来ないのです。

お分かりの方、どうかどうか教えて戴けないでしょうか。
よろしく、お願いいたします。

A 回答 (2件)

x「自身」の整数・小数部分と


x+1/3、x+2/3の整数・小数部分とが違ってくることに注意しないといけません。

i)0≦α<1/3
αが1/3よりも小さければ、1/3+α<1、2/3+α<1であることがわかります。
つまり、x+1/3、x+2/3の整数部分は、xと同じ [x]になります。

ii)1/3≦α<2/3
1/3+α<1ですが、1≦2/3+αとなります。
xと x+1/3の整数部分は同じですが、
x+2/3の整数部分は [x+1]となり、小数部分は 2/3+α-1= α-1/3となります。

iii)2/3≦α<1
1/3+α、2/3+αともに、1以上になってしまいます。
あとは、ii)と同様です。

数直線上で点をとってみると、よりわかりやすいかと思います。
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この回答へのお礼

有難う御座いました。
数直線上およびグラフで考えたところ、スッキリしました。

私の過去の疑問は、場合わけのパターンで、
例えば、ⅰ)0≦α<1/2とⅱ)1/2≦α<1とかで、場合分けがなぜ出来ないというものでした。
ⅰ)場合ですと、0≦α<1/3と1/3≦α<1/2で右辺の値が違ってくることが当然で、荒唐無稽な場合分けです。

お礼日時:2009/10/25 17:14

場合わけをして、3回示すとおしまいです。

やってみるとわかります。やらないとわからないです。
[x]+[x+1/2]=[2x] この等式を示せ。[早稲田大学]
を最初に解いてみてください。
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この回答へのお礼

たしかに、冷静にやってみて分かりました。
有難う御座いました。

お礼日時:2009/10/25 17:18

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Qガウス記号???

ガウス記号の意味が全くわからず、
どう解いていいものやらわかりません…。
y=[2x]
の場合を例にして、教えてください。

Aベストアンサー

まだ誰も回答なさってないようなので簡単に。

ガウス記号はその中にある数字を越えない整数を表す記号で、
[2.9]=2 , [4.5]=4
となります。ですから、ご質問のような関数に対しては、
0.0≦x<0.5 → y=0
0.5≦x<1.0 → y=1
    …
となって、xが実数値で連続的に変化しても、その関数は不連続な階段状のグラフになり、一つの区間の始点は●、終点は○になります。

求められている解答がどのようなものかは私には想像もつきませんが、ガウス記号については、ご理解いただけたでしょうか?

Qガウス記号の問題です。

[2x]-[(1/2)x]=2を満たすxの値の範囲を求めなさい。

ガウス記号についてまだ理解が十分でないところもあるので、詳しく教えていただけるとありがたいです。
回答お願いしますm(__)m

Aベストアンサー

#2です。

A#2の補足の質問について

[2x]-[x/2]=2の
答えのxの範囲は
y=2のグラフ(A#2の図の赤線)とy=[2x]-[x/2]のグラフ(A#2の図の階段状の緑線)が重なる
xの範囲になります。

>y=[2x]-[x/2]のグラフのところがよく分かりません。
>どうしてグラフがx=3/2、y=2の通るのか理解できません。

y=[2x]のグラフ(階段状の黒実線)とy=-[x/2]のグラフ(階段状の灰色破線)をグラフ的に加えたのがy=[2x]-[x/2]のグラフ(階段状の緑実線)になります。

グラフがおっしゃっている点(3/2,2)を通っていない(白○になっている)ので、通るといわれても「おっしゃること自体」が理解不可能です。
x=3/2,y=2のところでグラフは白抜き丸になっていますので、この点が通りません。
x=3/2のところではグラフは黒●になっているところはy=3のところです。
したがって答えのxの範囲 「1≦x<3/2」とx=3/2は含まれていないだろ。

>よろしければ、そこのところを詳しく教えていただけないでしょうか?
詳しく教えるといってもグラフがそうなるとしか言いようがないですね。
ただガウス記号の関数のグラフに慣れていただくしかないですね。
参考URLをみて、グラフについてよく考え、慣れてください。
参考URL:http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/gauss/gausssymbol.htm

グラフはxを連続的にxを変えていったときのyの値を点としてプロット
していったものなので、逆にxに具体的に値を入れてみれば分かるかと思います。
x=3/2=1.5のとき
 y=[2x]-[x/2]=[2*(3/2)]-[3/4]=[3]-[0.75]=3-0=3
なので x=3/2のときはグラフが通る点(x,y)は(3/2,3)であって(3/2,2)ではないです。
xが3/2よりわずか小さいx=1.4でのグラフ上の点は
 y=[2*1.4]-[1.4/2]=[2.8]-[0.7]=2-0=2
となるので点(1.4,2)は図のグラフ(緑線と赤線の重なるところ)上にあるのでこのx
=1.4は答えのxの範囲に含まれます。
xが3/2以上の答えの範囲の外のx=1.6で調べてみるとは
 y=[2*1.6]-[1.6/2]=[3.2]-[0.8]=3-0=3
となりこのときの点(1.6,3)は直線y=3上にあって、直線y=2(図の赤線)上にはありません。したがってx=1.6は答えの範囲には含まれません。図の水色に塗りつぶした答えの区間
1≦x<3/2(x=1を含みx=3/2は含まない)の任意のxのところで階段の1段のステップ緑線のグラフ(y=2,1≦x<3/2)と赤線の直線y=2が重なって答えのxの範囲に含まれます。

A#2の解答を、今の段階であなたが現在理解できなくても、ガウス記号のグラフに慣れていないからだけですので、ちゃんと見る人がみれば分かるはずなのでA#2解答のようにグラフ的に解けば問題ありません。
今のあなたには理解困難かも知れないが、ただガウス記号の関数のグラフに慣れていない、扱った経験がないからだと思われるので参考URLのガウス記号のグラフにをよく見て慣れていただくのが理解の最短コースだと思います。
なおガウス記号の関数は次のURLの床関数(floor function)と同じものですので参考にしてください。
参考URL「http://ja.wikipedia.org/wiki/床関数と天井関数」
ガウス記号のグラフはフリーソフト「GRAPES」をでは[x]はint(x)で扱えますのでガウス記号を含む関数のグラフが簡単に描けます(A#2のグラフもこのプロットソフトを使って作成しました)。Googleで「GRAPES」で検索すればダウンロード先がすぐ見つかります。複雑なグラフを描くのに非常に便利なソフトです。

あとは、習熟不足を解決するためには、ガウス記号のグラフを使う問題、ガウス記号を含む方程式、不等式の問題をより多くこなして、慣れるようにして下さい。
グラフを描いて解けば、簡単に解けたり、見通せて理解しやすくなります。
例:
・y=x-[x]のグラフを描く。
・2[x-2]-2x+5=0(0≦x≦2)を解け。(答え、x=1/2,3/2)
・[x-1]-[2-x]=-xを解け。(答え、x=1)
など。「GRAPES」でint(X)関数を使ってグラフを描いて解いて見てください。
グラフを使わないで解く方法より、グラフを使う方法の方が簡単に解け、計算ミスをすることも防げます。ガウス記号の関数のグラフは慣れれば、「GRAPES」を使わなくても、本来、簡単に描けるものです。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/床関数と天井関数

#2です。

A#2の補足の質問について

[2x]-[x/2]=2の
答えのxの範囲は
y=2のグラフ(A#2の図の赤線)とy=[2x]-[x/2]のグラフ(A#2の図の階段状の緑線)が重なる
xの範囲になります。

>y=[2x]-[x/2]のグラフのところがよく分かりません。
>どうしてグラフがx=3/2、y=2の通るのか理解できません。

y=[2x]のグラフ(階段状の黒実線)とy=-[x/2]のグラフ(階段状の灰色破線)をグラフ的に加えたのがy=[2x]-[x/2]のグラフ(階段状の緑実線)になります。

グラフがおっしゃっている点(3/2,2)を通っていない(白○になって...続きを読む


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