二次関数 頂点がわかる形に変形するには？

y＝x^2＋2x＋4やy＝2x^2＋4x＋5などを…
頂点が分かる形に変形するにはどうすればいいんでしょうか？

参考書には「x^2の前の数字の半分の二乗を足して引く」って書いてあるのでやってみたんですが…
足して引いたら変わらなくないですか？


分かりやすく教えていただけると助かります。

よろしくお願いします。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/11/13 22:34

＞「x^2の前の数字の半分の二乗を足して引く」

ではなく、
「xの前の数字（xの係数）の半分の二乗を足して引く」だと思います。
ただし、これには注意が必要です。
その説明の前に、疑問にされている点について回答します。

＞足して引いたら変わらなくないですか？
同じものを足して引いたら、±０で変わりません。
１を足して、１を引いても値は変わりませんよね。


質問で書かれている式で、注意点を説明します。
・y＝x^2＋2x＋4
xの係数は「２」ですから、その半分「１」の2乗つまりは「１」を足して引きます。
x^2＋2x＋4
＝ x^2＋2x＋1－1＋4
＝ (x＋2)^2＋3
と (x＋○)^2の形を作る（平方完成）ために足したり引いたりをします。

・y＝2x^2＋4x＋5
x^2の係数が１ではないので、注意です。
まず、次のように変形します。
2x^2＋4x＋5＝ 2×(x^2＋2x)＋5
x^2と xから(x＋○)^2の形を作るので、定数項の５は括弧の外にしておきます。
続けて
2×(x^2＋2x)＋5
＝ 2×(x^2＋2x＋1－1)＋5
＝ 2×(x^2＋2x＋1)－2＋5
＝ 2×(x＋1)^2＋3
と変形します。

平方完成は、x^2と xから作る。
そのために、定数項を足したり引いたりしてあげる。
ということになります。

No.2 ベストアンサー 回答者： debut 回答日時： 2009/11/13 22:42

＞「x^2の前の数字の半分の二乗を足して引く」

　　これは、ｘの前の数の半分の２乗を足して引く、ですね。

＞足して引いたら変わらなくないですか？

　　かわらないからいいんです。
　　違う式になっては、意味がなくなってしまいます。

ｙ＝ｘ^2＋２ｘ＋４
ｘの前の数２の半分の２乗を足して引くと
ｙ＝ｘ^2＋２ｘ＋１^2－１^2＋４
前３つをかっこにくくり
ｙ＝(ｘ^2＋２ｘ＋１^2)－１＋４
かっこの中を因数分解し、後を計算
ｙ＝(ｘ＋１)^2＋３　　完成！

ｘ^2の前に数があるときは、最初にその数でくくることが必要に
なります。
ｙ＝２ｘ^2＋４ｘ＋５
前の２つを２でくくると
ｙ＝２(ｘ^2＋２ｘ)＋５
ｘの前の数２の半分の２乗を、カッコの中で足して引くと
ｙ＝２(ｘ^2＋２ｘ＋１－１)＋５
カッコの中の最後のー１をカッコの外に２をかけて出すと
ｙ＝２(ｘ^2＋２ｘ＋１)－２＋５
ｙ＝２(ｘ＋１)^2＋３　　完成！