1/2+1/4+1/8+1/16+…はどのように計算しますか?
1/2Σ{k=0→∞}(1/2)^k=(1/2)(1/(1-1/2))=1
としているサイトもありましたが、なぜ(1/2)(1/(1-1/2))となるのか等、わかりません。

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A 回答 (4件)

質問欄に書かれた解である(1/2)(1/(1-1/2))=1は、


今考えている和が
 初項 1/2, 公比 1/2 の無限等比級数
だからです。理解するには下記のウェブページが解りやすいと思います。
http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/infGeoPr …

ただし、この問題に関してはもっと簡単に答えが得られます。
数直線を思い浮かべていただくと解りやすいと思いますが、
1頁加えるごとに1との差が半分になります。

第1項までだと差1/2,
第2頁までだと差1/4,
...,
第n頁までだと差(1/2)^n

という具合です。
これを無限回繰り返すと1との差は(1/2)^∞=0、
つまり、和が1に等しくなります。
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この回答へのお礼

ウェブページ等から数式は理解しました。
「絶対値が1より小さい数を永遠に掛けていくと0になる」のですか。直感的にはわかりますが、それは数式で証明できないんですか?
何かが、いつか0になるとします。その、仮の0を、なんらかの数式で使って得られた解は、当然、仮の解です。

お礼日時:2009/12/12 16:15

#1です。



A#1の式中にある通りです。
極限を取る前の
Sn=1-(1/2)^n
この先は極限の世界、極限値の世界ですから
これ以上表せません。

表すとすれば、limit(n→∞)の記法を
δ-ε論法の記法に書き換えるだけでしょう。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時:2009/12/12 23:52

回答番号No.2のmrabbitです。



>「絶対値が1より小さい数を永遠に掛けていくと0になる」のですか。

なりません。0になるのは極限値で、値そのものではありません。

数学的計算で求められるのは、値ではなく極限値です。
私の回答で「和」「差」と表現しているものは、
正確には∞に関わる部分は「和の極限値」「差の極限値」です。
(不正確な回答をしてしまってすみません。)
極限値を何らかの数式で使って得られた解も、当然、極限値です。
値そのものではありません。

質問で示されている和 1/2+1/4+1/8+1/16+… も、
その値ではなく、その極限値を表す数学的表現です。
また、「nが限りなく無限大に近づく」と「nが無限大である」は、
数学的には全く同じ意味を持っています。
ですので、定まらないnに対してSnの値を一つ求めようとするのは、
意味をなさないということになります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時:2009/12/12 23:53

初項(1/2)、公比(1/2)の等比数列のn項和Snの公式


Sn=1/2+1/4+1/8+ ... +(1/2)^n
=Σ[k=1,n] (1/2)^k
=(1/2){1-(1/2)^n}/{1-(1/2)}
=1-(1/2)^n

S= 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
= lim[n→∞] Sn
= 1 - lim[n→∞] (1/2)^n
= 1 - 0 = 1
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この回答へのお礼

nが限りなく∞に近づくときのSnの極限値は1である。というがinfo22の回答ですが、知りたいのは、nが∞のときのSnの値なんです。その値は数学では計算できませんか。

お礼日時:2009/12/12 16:46

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