f（x）=x³−6x²＋3kx の極大値と極小値の差が4となるkの値を求めよ。という問題がわかりませ

f（x）=x³−6x²＋3kx の極大値と極小値の差が4となるkの値を求めよ。という問題がわかりません！至急教えて下さい！

No.5 回答者： springside 回答日時： 2017/11/03 12:44

こういうことでしょ。

（注：問題には書いてありませんが、前提として、kは実数と仮定します）

まず、f'(x)=3x²-12x+3k=3(x²-4x+k)=0 (※1)が2つの異なる実数解を持つから、
判別式=16-4k>0より、k<4

※1の2実数解をα、β（ただし、α<β）とすると、解と係数の関係により、α+β=4、αβ=kである。
f(x)の極大値はf(α)、極小値はf(β)であるから、f(α)-f(β)=(α³-β³)-6(α²-β²)+3k(α-β)=4 (※2)

ここで、
α-β = -√{(α+β)²-4αβ} = -√(16-4k) = -2√(4-k) (∵α-β<0)
α²-β² = (α+β)(α-β) = -8√(4-k)
α³-β³ = (α-β)(α²+αβ+β²) = (α-β){(α+β)²-αβ} = -2(16-k)√(4-k)

これらを※2に代入して、
-2(16-k)√(4-k) -6{-8√(4-k)} +3k{-2√(4-k)} =4
整理して、
(4-k)√(4-k) = 1
両辺を2乗して、
(4-k)³=1
4-k=1 (∵下記注)
∴k=3 (注：k<4を満たす）

注：4-k=tとおくとt³=1であり、(t-1)(t²+t+1)=0となるが、t²+t+1=0は実数解を持たないため。

No.4 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/11/02 22:50

同じ質問があります.

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

私は「この回答はふさわしくない」に, 一票投じました.
貴方も納得できないところがあったから, こっちで同じ質問をしたのでしょう.
で, 貴方が納得できなかったのは, 具体的にどの部分ですか.

それと, 懲りない人がいるようですね.
この問題は, 条件を満たす k の値を「すべて」求めることを要求している.
k = 3 以外は条件を満たさないことを説明しないと, 当たり前だけど零点だ.
零点の解答例は, 質問者が望まない迷惑回答だよ.

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/11/02 20:07

偶々回答です。

f(x)=x｛ (xー3)^2 +3kー9 ｝
k=3なら、f(x)=x(xー3)^2
f '(x)=(xー3)^2+x・2(xー3)=(xー3)(xー3+2x)=3(xー3)(xー1)

f(1)=1^3 ー6・1^2 +3・3・1=1ー6+9=4 …極大値
重解なので、x=3 の時、y=0 …極小値
よって、極大値と極小値の差は、4 なので、k=3

No.2 回答者： mathstudent 回答日時： 2017/11/02 09:34

・ikemath 極大値と極小値の差

http://www.geocities.jp/ikemath/_userdata/ho_pdf …

上の資料の公式を用いて解きます。

補足：むらさめさんが求めているのは極大値と極小値の値を取るxの値の差です。今回は極大値と極小値の差ですので、誤りです。しかもxの値を求める時点で計算ミスをしています。

f(x)=x^3−6x^2＋3kx
f’(x)=3x^2-12x+3k
=3(x^2-4x+k)
解の公式より
x=(4±√16-4k)/2
=2±√(4－ｋ)

ここから(2－√(4－k))－(2＋(√(4－k))=－2√(4－k)と出してあげて、

(－1/2)(－2√(4－k))^3=4となるkの値を求めます。

すると、(√(4－k))^3=1となるので、k=3となります。

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2017/11/02 07:59

f(x)=x^3−6x^2＋3kx

f’(x)=3x^2-12x+3k
=3(x^2-6x+k)
解の公式より
x=(6±√36-4k)/2
=3±√(9-ｋ)
極大極小の差が4
(3+√(9-ｋ))-(3-√(9-ｋ))=4
√(9-ｋ)+√(9-ｋ)=4
2√(9-k)=4
√(9-ｋ)=2
∴9-k=4になればいいので、k=5