２元連立方程式 （３式バージョン）

こんにちは、名前があっているかちょっと不安ですが、２元連立方程式の３式バージョンについて質もです。

問題は、
x=1(mod13)
x=1(mod15)
x=1(mod19)　　　　を満足する方程式のｘを求める。というある問題の経過的なところなん
　　　　　　　　　　　　　　　　　ですが。

これを x=　の式に直すと

　　　　　　x=1+13t
x=4+15t
x=8+19t

　となるのですが、代入などを使って式を解いても　x　の値が等しくなりません。おなじみの連立方程式なんで油断していたのですが・・・問題からすると　ｘ　の値が等しくなる問題なのですが、解き方が分からなくなってしまいました。

ちょいと説明がめちゃくちゃですみません・・・レポートで何気に急いでいたので「教えて！」を利用させていただきました。
宜しくお願いいたします。

No.3 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/01/23 15:27

＃２です。

答えは合っていると思いますが文章が変ですね
。
　１３ｓ＝７８が一式目と二式目を満たします。従ってｘの値として７９に１９５（１３と１５の最小公倍数）を順次加えたものも同様に一式目と二式目を満たします。

訂正⇒１３ｓ＝７８が一式目と二式目を満たします。従ってｘ＝７８＋１＝７９は一式目と二式目を満たす候補になります。また、７９に１９５（１３と１５の最小公倍数）を順次加えたものも同様に一式目と二式目を満たすｘの候補です。

このうち１９の倍数になるのは２６６です。従ってｘの値として２７４に３７０５（１９と１９５の最小公倍数）を順次加えたものも候補になります。

訂正⇒このうち１９の倍数になるのは２６６です。従ってｘ＝２６６＋８＝２７４は初めに与えられた条件を満たします。また、２７４に３７０５（１９と１９５の最小公倍数）を順次加えたものも候補になります。

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/01/23 15:07

＃１さんの指摘に従ってそれぞれ商を設定して

x=1+13ｓ
x=4+15ｔ
x=8+19ｕ
とします。一式目と二式目より１３ｓ＝１５ｔ＋３となり、１３の倍数と１５の倍数を並べると
１３の倍数：１３，２６，３９，５２，６５，７８，９１・・・・
１５の倍数：１５、３０、４５，６０，７５，９０、・・・・
なので、１３ｓ＝７８が一式目と二式目を満たします。従ってｘの値として７９に１９５（１３と１５の最小公倍数）を順次加えたものも同様に一式目と二式目を満たします。つまり、一式目と二式目を満たすｘは７９＋１９５ｎと表されるので
７９＋１９５ｎ＝８＋１９ｕ
７１＋１９５ｎ＝１９ｕ
左辺は７１、２６６、４６１、６５６、８５１、１０４６、１２４１、１４３６・・・
であり、このうち１９の倍数になるのは２６６です。従ってｘの値として２７４に３７０５（１９と１９５の最小公倍数）を順次加えたものも候補になります。
　以上まとめると、最初の三式を満たすｘは２７４＋３７０５ｍで表されるということになります。

No.1 回答者： f272 回答日時： 2011/01/23 14:13

「これを x=　の式に直すと

x=1+13t
x=4+15t
x=8+19t
となる」
なんて，どうしてそんなことを思ったの？
xを13で割ったときの商と15で割ったときの商が等しい理由はどこにもありません。