1/3×3=1は合っているのですか？

小学校の頃から疑問に思っていたことがあります。

1/3=0.333333…（3が永遠に続く）

だと思うのですが、それだと

1/3×3=0.999999…（9が永遠に続く）

となって、1/3×3=1　にならなくなってしまうのですが
どこが間違っているのでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： edomin2004 回答日時： 2008/01/20 10:44

1=0.999…（9が永遠に続く）

なんです。
a=0.999…
とおいたとき
10a=9.999…
10a-a=9.999…-0.999…
9a=9
a=1
∴
1=0.999…
証明としては上記の通りなのです。

感覚としては「違う気がする」というのも判りますけどね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
1/6×6=1のケースも同じように証明できるんですね。
おっしゃるとおり「違う気はする」のですが、納得はできました。

お礼日時：2008/01/20 11:17

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/01/20 20:17

わざわざわりきれない 10進数で考えるからいけないのであって, 12進数で考えれば

1/3 = 0.4, 0.4×3 = 1
で何も問題ありませんね.

No.5 回答者： BookerL 回答日時： 2008/01/20 15:56

　すでに回答があり、「無理に少数で考えるからおかしくなる、分数のままで考えるといい」というようなアドバイスもありますが、あえて正面から回答してみます。

　#1 の方に近い立場です。

＞　1/3×3=0.999999…（9が永遠に続く）
＞
＞　となって、1/3×3=1　にならなくなってしまう

　これはありがちな誤解です。(^_^)
　1 と 0.999999…（9が永遠に続く） は違う数のように見えるかも知れませんが、

　1 と 0.9 は違う数です。0.1 の差があります。
　1 と 0.99 も違う数です。 0.01 の差があります。

　でも、1 と 0.999999…（9が永遠に続く） は同じ数です。それはその二つの数の差が無限に小さい＝差が０ となるからです。

　「無限」というのは、実際に見ることができず、実感することはできませんので、なじむまでは納得しにくい感じもあるものですが、無限とは

差が無限に小さい ＝ 差がない

のようなものなのです。何となく差がありそうな気がするのは、「無限」までたどり着いていないからです。「無限に小さい」と「０」は厳密に等しいのです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

＞差が無限に小さい ＝ 差がない
数字って不思議なものなんですね。
ゼロと、限りなくゼロに近くでも存在している僅か、との間には
違いがないということなのですよね。
なんだかいろいろ考えさせられました。

お礼日時：2008/01/20 22:33

No.4 回答者： s067k 回答日時： 2008/01/20 12:42

私も疑問に思ったことがありますが、1/3×3は正しいと思います。

例えば林檎が一つあるとします。その林檎を三つに切り、その内の一つをとるとそれは1/3ですよね？しかし、その残りの二つも合わせると一つの林檎になります。したがって、1/3×3は1で良いと思います。

…と私は考えるのですがどうでしょうか？

この回答への補足

すみません、私の質問の仕方が悪かったようで…

1/3×3=1
が正しいというのは分かるのです。
「1を3で割った」値を「1/3」と決めているので、それに3をかけたら当然1になる、と。
ただ、少数に置き換えようとするとおかしくなってしまうな、とモヤッと感じでいたのです。

いずれにしても、ご回答ありがとうございました。

補足日時：2008/01/20 22:23

No.3 回答者： DONTARON 回答日時： 2008/01/20 11:00

小数では正確に表すことができない値があります。

小数で表した０．３３３３３３３・・・は正確に言うと３倍することはできません。
この場合は途中で小数にすると正確な値になりませんので
途中はすべて分数で表して
どうしても少数で表したい時は一番最後で四捨五入して小数にします。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

＞小数で表した０．３３３３３３３・・・は正確に言うと３倍することはできません。

正確に言うと３倍すること（何かで乗じること？）ができないというのは
どういうことなのでしょうか？
正確に乗じることができないとなると、最初にご回答いただいた方の証明もできないことになってしまう気がしますが…
理解力が無くてすみません。

お礼日時：2008/01/20 22:23

No.2 回答者： AB-tetsuya 回答日時： 2008/01/20 10:53

小数に置き換えてしまうと確かにおかしな感じになりますね。

ただ、3分の1は1を均等に割った数であって小数では表示できない
数字なんです。(仮に0.3333・・・とは表記されますが)

無理に3分の1を小数に考えずに、3等分したものが三つと考えたら
もとの1になると考えたらよいと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
無理数というのは少数で「表示できない」数字というよりは「表示しきれない」数字だと思っていました。

お礼日時：2008/01/20 11:23