1/2+1/4+1/8+…はいくらですか？

1/2+1/4+1/8+1/16+…はどのように計算しますか？
1/2Σ{k=0→∞}(1/2)^k=(1/2)(1/(1-1/2))=1
としているサイトもありましたが、なぜ(1/2)(1/(1-1/2))となるのか等、わかりません。

No.2 ベストアンサー 回答者： mrabbit 回答日時： 2009/12/10 03:20

質問欄に書かれた解である(1/2)(1/(1-1/2))=1は、

今考えている和が
　初項 1/2, 公比 1/2 の無限等比級数
だからです。理解するには下記のウェブページが解りやすいと思います。
http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/infGeoPr …

ただし、この問題に関してはもっと簡単に答えが得られます。
数直線を思い浮かべていただくと解りやすいと思いますが、
１頁加えるごとに１との差が半分になります。

第１項までだと差1/2,
第２頁までだと差1/4,
...,
第ｎ頁までだと差(1/2)^n

という具合です。
これを無限回繰り返すと１との差は(1/2)^∞=0、
つまり、和が１に等しくなります。

この回答へのお礼

ウェブページ等から数式は理解しました。
「絶対値が１より小さい数を永遠に掛けていくと０になる」のですか。直感的にはわかりますが、それは数式で証明できないんですか？
何かが、いつか０になるとします。その、仮の０を、なんらかの数式で使って得られた解は、当然、仮の解です。

お礼日時：2009/12/12 16:15

No.4 回答者： info22 回答日時： 2009/12/12 19:09

#1です。

A#1の式中にある通りです。
極限を取る前の
Sn＝1-(1/2)^n
この先は極限の世界、極限値の世界ですから
これ以上表せません。

表すとすれば、limit(n→∞)の記法を
δ-ε論法の記法に書き換えるだけでしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2009/12/12 23:52

No.3 回答者： mrabbit 回答日時： 2009/12/12 18:17

回答番号No.2のmrabbitです。

>「絶対値が１より小さい数を永遠に掛けていくと０になる」のですか。

なりません。０になるのは極限値で、値そのものではありません。

数学的計算で求められるのは、値ではなく極限値です。
私の回答で「和」「差」と表現しているものは、
正確には∞に関わる部分は「和の極限値」「差の極限値」です。
（不正確な回答をしてしまってすみません。）
極限値を何らかの数式で使って得られた解も、当然、極限値です。
値そのものではありません。

質問で示されている和 1/2+1/4+1/8+1/16+… も、
その値ではなく、その極限値を表す数学的表現です。
また、「ｎが限りなく無限大に近づく」と「ｎが無限大である」は、
数学的には全く同じ意味を持っています。
ですので、定まらないｎに対してSnの値を一つ求めようとするのは、
意味をなさないということになります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2009/12/12 23:53

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/12/10 03:18

初項(1/2)、公比(1/2)の等比数列のn項和Snの公式

Sn=1/2+1/4+1/8+ ... +(1/2)^n
=Σ[k=1,n] (1/2)^k
=(1/2){1-(1/2)^n}/{1-(1/2)}
=1-(1/2)^n

S= 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
= lim[n→∞] Sn
= 1 - lim[n→∞] (1/2)^n
= 1 - 0 = 1

この回答へのお礼

nが限りなく∞に近づくときのＳｎの極限値は１である。というがinfo22の回答ですが、知りたいのは、nが∞のときのSnの値なんです。その値は数学では計算できませんか。

お礼日時：2009/12/12 16:46