剰余の定理を使う問題で

下の例題でわからないところがあるので教えてください。

x=3+√5 / 2 のとき、 x^4-x^3-6x^2+9x-4 の値を求めよ。

〔解〕
x=3+√5 / 2　より
2x-3=√5　…(1)
(1)の両辺を2乗して
4x^2-12x+9=5
4x^2-12x+4=0
x^2-3x+1=0 …(2)

P(x)=x^4-x^3-6x^2+9x-4
P(x)を x^2-3x+1 で割ると
商は x^2+2x-1
余りは 4x-3

よって　P(x)=(x^2-3x+1)(x^2+2x-1)+4x-3 …(3)
(2)(3)より、求める値は
P(3+√5 / 2)=4×(3+√5 / 2 )-3
　　　　　　=3+√5

わからないところというのは、
P(x)=x^4-x^3-6x^2+9x-4
P(x)を x^2-3x+1 で割ると　←この部分が納得できません。

(2)に書いてあるように x^2-3x+1=0 ですよね。
ゼロで割るということは定義されていないはずなのに、
どうしてP(x)をx^2-3x+1で割ることが出来るのですか？

No.4 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/05/07 02:34

＞ 上に書いたようにxが特定の定数として扱っている場合は

＞ xを定数aで表すことにより、混乱を避けることができます。

できません。
x が変数であるか、定数であるか、文字の意味を明らかにする為には、
その旨を式に文章で書き添えることが必要です。
x なら変数で a なら定数 …というのは、自分の心づもりに過ぎません。

＃ 個人的なことですが、私は、中学生のとき、学校の定期試験で、
＃「男子の人数を b 人、女子の人数を g 人と置くと…」と書いて、
＃「文字を x, y にしてないので、方程式というものが解ってない」
＃ という減点を受けたことがあります。x や a の意味に関して、
＃ 慣習と論理とをすり替えるべきでない …と、強く思う。

No.3 回答者： info22 回答日時： 2009/05/05 23:23

>x=3+√5 / 2 のとき、

この書き方は
x=3+(√5/2)
と間違って解釈されますので
x=(3+√5)/2
と書いて下さい。
[解]中の書き方も同様です。
> P(3+√5 / 2)=4×(3+√5 / 2 )-3
>　　　　　　=3+√5
計算間違い。正しくは
P((3+√5)/2)=4×(3+√5)/2 - 3
　　　　　　 =6-2√5 - 3 =3+2√5

>P(x)を x^2-3x+1 で割ると　←この部分が納得できません。
あなたが多項式P(x)と、その多項式にxに
特定の値x=aを入れたときの多項式の値f(a)
とを区別できていないだけでしょう。
aと書かないで同じxを使っているため混乱しているだけでしょう。
x=aと置き換えた式で考えれば明らかでしょう。

>(2)に書いてあるように x^2-3x+1=0 ですよね。
実はこの式のxは特定の定数x=aで成り立つ式です。
一方,P(x)のxは任意の変数のxです。
なので
>P(x)=x^4-x^3-6x^2+9x-4=(x^2-3x+1)(x^2+2x-1)+4x-3 …(3)
(3)式は任意のxに対して成立する【恒等式】です。
右辺の括弧を外せば左辺と同じ式になります。

a=(3+√5)/2…(4)とすれば
a^2-3a+1=0…(5)

恒等式(3)式でx=aとおいても成立するから（もちろん他の任意のx=bについても成立します）
P(a)=a^4-a^3-6a^2+9a-4=(a^2-3a+1)(a^2+2a-1)+4a-3 …(6)
(5)式の関係から(6)式は
f(a)=4a-3
これに(4)を代入するだけです。

>ゼロで割るということは定義されていないはずなのに、
>どうしてP(x)をx^2-3x+1で割ることが出来るのですか？
ゼロに割っているわけではありません。
この時のxは任意の実数のxです。
また、因数分解や積和を求めるための変数xの多項式で割っているのであって
P(a)をa^2-3a+1で割ることとは意味が違います。
x=aとおいた時の
式P(a)と
a^2-3a+1(=0)は
いずれも定数です。
この定数a^2-3a+1(=0)はゼロなので他の値をゼロであるa^2-3a+1(=0)で割ることができないのが当然です。

時折、変数xとxを特定の定数として扱う場合に、同じ文字のxを使う場合には、xを変数であるとして扱っているのか、定数で扱っているのかを、区別して認識して文字xを扱わないと混乱の元ですね。
上に書いたようにxが特定の定数として扱っている場合はxを定数aで表すことにより、混乱を避けることができます。

【ポイント】
文字定数や変数の文字は、あるときは変数、ある時は定数として扱えますので、便利な反面、混乱のもとになる。
今はその文字を定数、変数のどちらで扱っているのかを意識して文字を扱うようにすることが大切です。

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/05/05 22:43

別解を示しておく。

x^2＝3x-1より、Ａ＝ x^4-x^3-6x^2+9x-4＝（x＾2）＾2-x*（x＾2）-6（x＾2）＋（9x-4）＝（3x-1）＾2-x*（3x-1）-6（3x-1）＋（9x-4）＝6x＾2-14x+3＝6（3x-1）-14x+3＝4x-3。

No.1 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/05/05 22:26

＞どうしてP(x)をx^2-3x+1で割ることが出来るのですか？

＞(2)に書いてあるように x^2-3x+1=0 ですよね。

良くある質問だが。

P(x)＝(x^2-3x+1)(x^2+2x-1)+4x-3 …(3)　は、x^2-3x+1の値がどうであれ、常に成立する恒等式。
偶々、x^2-3x+1＝0であっただけ。x^2-3x+1の値が1でも2でも、何でも良い。
例えば、x^2-3x+1＝1としよう。x^2＝3xから、そうすると、(3)は　P(x)＝(x^2-3x+1)(x^2+2x-1)+4x-3＝(x^2+2x-1)+4x-3＝x^2+6x-4＝（3x）＋（6x-4）＝9x-4。
ここで、x^2＝3xよりx＝0と3の値を代入する。