ニュートンオイラー法での平行リンクロボットの運動方程式の求め方

Question

下の図の左側のような、平行四辺形のアームを考えます。
http://f42.aaa.livedoor.jp/~hassaku/crswikicrs/?plugin=attach&openfile=link.GIF&refer=%A4%CF%A4%B8%A4%E1%A4%C6%A4%CE%A5%ED%A5%DC%A5%C3%A5%C8%C0%BD%BA%EE
このアームの左下の点に下のアームと左のアーム、それぞれを動かせるようなモータがついているロボットとなっています。
下のアームをアーム1、左のアームをアーム2とし、そのアームを動かしているモータも同様に1,2と番号を割り当てます。
右下、左上、右上の点はフリーになっています。


このロボットのそれぞれのアームに抵抗がかかる場合、どのような負荷がそれぞれのモータに与えられるかを、ニュートンオイラー法で求めてみようと考えたのですが、本にはアームが一周してしまっているような、拘束条件が土台以外に入っている状態の求め方は、載っていないため、どのように力を扱っていいのかがよく分かりません。

何かヒントになるようなことでもいいので、よろしくお願いします。

yokkun831 · Accepted Answer

補足です。

四角形枠の場合，外からトルクを与えるのは左下の軸で，２本のアームに・・・ということでしたので，ぐるっとまわるのが考えにくいのであれば，上の２本と下の２本を独立に考えて，手先が受ける抵抗力を作用反作用で等しく逆向きとおいてもよいと思います。これは以前から気づいていた考えですが，本質的ではないと思い保留していたのを忘れていましたので，付け加えておきます。

yokkun831 · Answer

>ニュートンオイラー法はi番目の関節に加わる力とトルクを求めそれを使って、i-1番目の関節に加わる力とトルクを求めるということを延々と続けていく方法なのですが、このような平行にリンクのアームではアームが一周してしまっているため手先となるアームをどのようにすれば良いのかが分からないということなのです。

ちょっと解釈が違うように思われます。ニュートンオイラー法は，結果をどのように使うかという点で，上のように次々と力とトルクを求めるという場面も出てくるかもしれませんが，基本的に力（トルク）と運動をつなぐ運動方程式を導出する方法なのですから，ラグランジュの方法と同じことを別な方法でやっているだけです。あとは，目的の運動を与えて必要な力（トルク）を導出するのか，またはその逆か・・・という得られた運動方程式の活用の問題になります。

今回のようにアームが一周する束縛がある場合，ラグランジュの方法では仕事をしない束縛力をのぞく外力（トルク）のみ考えれば束縛力および内力（トルク）（アームどうしの間で及ぼしあう力（トルク））は意識せずとも正しい結果が得られます（束縛条件によって必要な束縛力および内力は自然と取り込まれるのです）。そして，必要な外力（トルク）はラグランジアンに仕事（外力のポテンシャルエネルギー）として取り入れれば目的の結果を得ます。

一方，アームどうしが及ぼしあう力（トルク）も初めから考慮に入れて，ニュートンの運動方程式とオイラーの回転の運動方程式を直接に導出しようとするのがニュートンオイラー法なのですよね？　今回のような束縛のある場合，ニュートンオイラー法では束縛によってアームの間に働く力（トルク）が自明ではありませんから，変数として仮定しておいて，連立によって解くことになるのだと思います。ラグランジュの方程式の場合は，すでに解かれた状態で正しい運動方程式が得られるので，得られた運動方程式の中にそれは隠れてしまいます。ですから，アームが互いに及ぼしあう系の内力を直接知りたいと思えば，ニュートンオイラー法を選ぶことになるのでしょう。


＞そしてラグランジュの方法では，これ（仮想仕事の原理による「伝達された」力の導出）を計算の中でやってしまっているのではないですか？　
これは、ラグランジュの運動方程式から、アームに外力が加わっていない場合の平行リンクアームのダイナミクスを求める際に、仮想仕事の原理を利用しているのか？ということでしょうか？

ラグランジュの方法は，最小作用の原理の形で仮想仕事の原理を内に含んでしまっているということです。ですから，なめらかな束縛以外の外力のない自由運動において，束縛力およびアームどうしが及ぼしあう内力（トルク）はすでに導出される運動方程式に含まれているのです。あとは，必要な外力の仕事をラグランジアンに加えるだけですね？

最も初歩的な棒振子の例を考えます。ニュートンオイラー法の立場は，力をすべてリストアップして，運動方程式を直接にたてます。この場合束縛力は回転軸における抗力です。

重心の運動
質量×重心の加速度＝重力＋抗力
重心まわりの回転
慣性モーメント×角加速度＝重力によるトルク＋抗力によるトルク

両者から抗力を消去すると，普通に回転軸まわりの回転の運動方程式になります。

一方，ラグランジュの方法では，ラグランジアンを微分することで力の考察を経ることなく一気に最終結果を得てしまうわけです。なぜラグランジアンに抗力が出てこないか？　それは，摩擦のない自由運動では，抗力は仕事をしないからですね？　外からトルクを加える場合は，その仕事をあらかじめラグランジアンに組み込むことになります。

おそらく，glarelanceさんはニュートンオイラー法をとる方向で考察を始められているのでしょうから，これ以上のアドバイスもできませんが，基本的にはニュートンオイラー法では，内力も外力もすべて含めてアームが受ける力とトルクをリストアップして考えることになります。資料説明にある外力Ｆに必要な抵抗力等を加えるだけでよいと思います。あとは連立によって目的の値を計算することになるでしょう。私は，この方法での考察をまだ深めていないので，今のところさらに具体的な疑問の提示がなければ，これ以上のお役には立てそうにありません。でも，私も興味はありますのでニュートンオイラー法を含めて考察を深めてみたいと思います。

yokkun831 · Answer

>その座標から手先が動かないので、手先を上下左右方向に対し拘束する力も考慮しなければならず、その拘束力をどのように負荷すればいいのかが分からないのです。

固定軸にトルクを仮定すれば，要求される系の（静止を含め）運動においてアームを拘束する分を含めて必要なトルクが計算されるのです。たとえば，ある姿勢を保持しようと思ったら，導かれた運動方程式に静止の条件（角速度ゼロ）を代入すれば逆にトルクが導かれるわけですよね。そのトルクをモーターで稼ごうと思ったら，モーターは静止状態でトルクをもつステッピングモーターのようなものでなければならないということになるでしょう。


>外力をどのようにラグランジアンの中に取り込めばいいのかが分からず手詰まりとなってしまったのです。どのように、外力の仕事をラグランジアンに付け加えればいいのでしょうか？

基本的には，外力を生起する系の一部あるいは全部を系に組み入れてしまうという考え方をすればよいのだと思います。つまり，外力がする仕事をアームが受けるトルク×角変位または，力×距離変位の形でラグランジアンに加えればよいのではないでしょうか？　位置エネルギーの一部であるかのように，ただ加えるだけです。


>今の所、私がいろいろやってそこそこうまくいっている方法は、アームのそれぞれの部材の微小領域に加わる力によってモータに加わる力を仮想仕事の原理から求め、それをアーム全体に積分してしまうという方法位なのです。

まさにこれが正解なのです。そしてラグランジュの方法では，これ（仮想仕事の原理による「伝達された」力の導出）を計算の中でやってしまっているのではないですか？　束縛された運動の下でラグランジュの方法が力を発揮する点は，まさにここにあるのだと思います。たとえば，枠を自由に回転させるときもアームどうしの間には力が加わります。しかし，ラグランジアンを計算するときにこうした内力は，記述する必要がないにもかかわらず，そうした内力を含む運動方程式がちゃんとできあがるのは，束縛条件の中にそれは潜在的に含まれているからです。系外からの外力は，その反作用が系外に向かうので，ラグランジアンに明記しなければならないことになります。

以下，お役に立てそうな例題がみつかれば，下記にアップしたいと思いますので，よろしければごらんください。

http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/319.html

yokkun831 · Answer

なかなか難しいですね。私も平行四辺形のラグランジュ方程式から計算を始めてみたのですが，あまりに煩雑なので，ひとまずひし形に乗り換えて解いてみました。

http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/318.html

ニュートンオイラー法はまだ手をつけていませんが，挑戦してみたいと思います。的外れになってしまいごめんなさい。多少とも参考にしていただければ幸いです。

yokkun831 · Answer

私も目をつけたネット上の資料をご紹介いただき，話は早いです。


ぐるっとまわって，最後のアームにおいて駆動トルクを考慮すればそれでよいように思うのですが，どのあたりが疑問とされているのか今ひとつわかりませんでした。

ちなみに，紹介された資料は一般３次元に即した理論なのでちょっと読みにくいですね。今回とりあげられているのは２次元ですので，ずっと簡単になると思います。

もうひとつ気になったのは，ラグランジュの方法でトルクを考慮したのと同様に，外力がする仕事をラグランジアンに付け加えればよいのではないかと思うのですが，難しいですか？

今私もラグランジアンから計算中なのですが，「幸運にも」納得のいく結果が出たらお知らせします。

yokkun831 · Answer

「ニュートンオイラー法」・・・重心の運動方程式と回転の運動方程式をたてるという意味だったのですね。数値積分の方法と勘違いしました。＾＾；

それぞれのアームの角変位，角速度，角加速度および負荷を与えて運動方程式により駆動力を求める（またはその逆）ということですね？

アームがループになっていても，同じことだと思います。ただひとつ違うのは，通常アームの数だけ自由度があるのに対して，ループとなって閉じるという束縛のために自由度が減るということです。四角形の場合，いずれか２本のアームの角度が決まれば，あとの２本は（２とおりの配置が選べるものの）角度が決まってしまいます。つまり，自由度は２になってしまうわけです。この自由度の減少は，単純に図形の問題として角変位の変数を減らすことで反映されます。これは，与えられた問題において駆動を左下の軸に２つ置くだけで，全体の動きを完全に制御できるということに相当しますね。

具体的な課題設定や，「よく分からない」という点の詳細，参照されているニュートンオイラー法のマニュアル（本質的な内容が理解されているのであれば必要ありませんが）などを具体的に示していただければ，お役にたてるかもしれません。

yokkun831 · Answer

モーターのトルクがなく，慣性のみによる場合の運動方程式は，下記のような方法で系のラグランジアンを書き下ろせば導出できます。結果的に，軸においてアームが受けるトルクを求めていることにはなるのですが，トルクそのものを知りたいときにはあまり見通しはよくありません。参考にはならないかもしれませんね。

http://okwave.jp/qa/q5464877.html

ニュートンオイラー法での平行リンクロボットの運動方程式の求め方

補足です。

>その座標から手先が動かないので、手先を上下左右方向に対し拘束する力も考慮しなければならず、その拘束力をどのように負荷すればいいのかが分からないのです。

なかなか難しいですね。

私も目をつけたネット上の資料をご紹介いただき，話は早いです。

「ニュートンオイラー法」・・・重心の運動方程式と回転の運動方程式をたてるという意味だったのですね。

モーターのトルクがなく，慣性のみによる場合の運動方程式は，下記のような方法で系のラグランジアンを書き下ろせば導出できます。

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