１つの箱の中に１から１０までの数が書かれたカードが４枚ずつ計４０枚入っ

１つの箱の中に１から１０までの数が書かれたカードが４枚ずつ計４０枚入っている。
この箱から、ｋ枚（３≦ｋ≦１２）のカードを取り出す。
このうちの３枚のカードが同じ数で、残りはこれとは違う互いに異なる数となる確率をｐ（ｋ）とする。

（１）ｐ（ｋ）を求めよ。
（２)4≦ｋ≦１２のとき、　ｐ（ｋ－１）/ｐ（ｋ）　を求めよ。
（３）ｐ（ｋ）を最大にするｋの値を求めよ。

という問題です。至急よろしくお願いします。

No.1 回答者： Ginzang 回答日時： 2010/01/23 13:27

至急とあるが、今からでも大丈夫だろうか。

(1)k枚のカードの取り出し方は、全部で 40 C k = 40! / ( (40-k)! k! ) 通りあり、各々同様に確からしい。
　一方、3枚のカードが同じ番号（数）で、残りはこれとは違う互いに異なる番号となる
ような取り出し方は、
｛（3枚の同じ番号のカードの、その番号の選び方）×（同じ番号の4枚のカードからの3枚の選び方）｝
×｛（残る9種類の番号からの(k-3)種類の選び方）×（同じ番号の4枚のカードからの1枚の選び方）^(k-3) ｝
= { 10 ・ 4 }{ 9 C (k-3) ・ 4^(k-3) }
= ( 40 ・ 9! ) / ( (12-k)! (k-3)! ) 通り。
よって、
p(k) = ( 40 ・ 9! (40-k)! k! ) / ( 40! (12-k)! (k-3)! )。
（これは、約分しなくても問題ないだろう。）

(2)前問より p(k-1) = ( 40 ・ 9! (41-k)! (k-1)! ) / ( 40! (13-k)! (k-4)! )。
よって、
p(k-1) / p(k) = (k-3)(41-k) / k(13-k)。

(3)p(k-1) < p(k) となるのは、p(k-1) / p(k) < 1 のときであり、
p(k-1) / p(k) = (k-3)(41-k) / k(13-k) < 1 を解くと、(k-3)(41-k) < k(13-k) より k < 123/25。つまり、k = 4。
同様に、p(k-1) > p(k) となるのは k = 5, 6, ・・・, 12。
よって、p(3) < p(4) > p(5) > p(6) > ・・・ > p(12)。
ゆえに、p(k) は k = 4 のときに最大になる。