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対数って、なんのためにわざわざ対数使うんですか?

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A 回答 (6件)

天文学的な大きな数を扱うときに便利だからです。



簡単な例:10を底とする常用対数を考えます。

10000×1000=10^7ですが、

対数を使えば、log10000+log1000

=log10^4+log10^3
=4log10+3log10
=7log10
=7

というように、掛け算は足し算で計算することができます。割り算も同様です。

また、2^10は 10の何乗か計算したいときは、方程式 2^10=10^x を解きます。答えは、約3.01です。

もっとも、常用対数よりは、eを底とする自然対数のほうが便利なんですが。
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 かなり感覚的な説明ですが,おもしろいので御紹介します。



  ◎ 高校1年生のためのlog

 御質問の点については,「15. なぜlogが必要なのか」を御覧下さい。

参考URL:http://www.geocities.co.jp/Technopolis/1505/log. …
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rikei-girlさん、こんにちは。


指数関数、対数関数って、分かりにくいですね。
なんのために、あんな計算するんでしょうね?

さて、次のような例を見てください。

「ある種類の細菌は、30分に1回分裂して2倍の個体数になる。
この条件下で、100個の細菌が、1億個以上に増加するのには、約何時間かかるか。
ただし、log2≒0.3010 とする」

という問題を考えてみましょう。
30分に1回、1個が2個になるのですから、
1時間では、2×2=4個になっていますね。
だから、1億個以上になるのを、x時間とすると

100*2^(2x)≧100,000,000
2^(2x)≧1,000,000=10^6

これを解かないといけません。
対数を使わないとすると、えんえんと100万を2で割り続けないといけません。
それは、とても面倒なので、ここで対数をとると便利なのです。

ちょっとやってみましょう。底が10の常用対数をとると、
log2^(2x)=(2x)log2≧log10^6=6
2x≧6/log2
x≧3/log2=3/0.3010≒9.9667

となるので、大体、約10時間かかるということが計算できます。

このような種類の計算には、対数を取るということが、とても有効ですね。
こういうことも、できるんだな~という参考として考えてみてくださいね。
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対数を使うことで、非常に大きな数同士の掛け算や割り算を


足し算や引き算に置き換えて計算することができます。

対数の発明によって天文学者の寿命が十年は延びたと評価されています。

参考URL:http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture …
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人間の知覚は対数で「感じる」ものが多いため、対数表示のほうが都合が良いから、というのはどうでしょうか?

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現在は対数表を持って歩くより電卓の方が手軽になったので死語に近いような状態かも、


三角関数の数値表と表現しればいのか?
少数点以下3位まで記載のものを 3位対数表、5位のものを5位対数表といいます。
むかーし、は測量する人の必携のものでした。
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Q常用対数を使うと何が便利なんですか?

常用対数の実用性についてわかりやすく教えてください。
特にデシベルとの関連について・・・掛け算が足し算になるとか本には書いてあるんですが具体的な例を示していただければありがたいです。

Aベストアンサー

もちろん計算が楽になるという利点がありますが、そもそも対数は比較するためのものです。

 たとえば、私たちがある二つの学校の人数が、ともに10人増えたと言った場合、この二つが同じ意味かというと、そうとは言い切れませんね。
 A校は、昨年10人しかいませんでしたが、B校は1000人の生徒がいました。
 A校は、2倍に増えたのですが、B校は0.1%しか増えていません。

 今年は、お小遣いが10000円増えたといっても、大して喜ばないA君と、逆立ちして喜ぶB君がいる。なぜならA君は先月まで10000円だった、B君は100万円貰っていた。

 では、それぞれの生徒数やお小遣いを対数で表してみると
A校は、1→1.3010  差は0.3010
B校は、3→3.004  差は0.004
A君は、4→4.3010  差は0.3010
B君は、6→6.004  差は0.004
 差を比較するより、何倍になったかを比較するほうが適切なことが分かると思います。A校の思いと、A君の思いは同じことがこれで分かるね

>掛け算が足し算になるとか本には書いてあるんですが
 は数学的な意味ですね。
 たとえば10倍したものを1000倍すると、10000倍ですが、対数で考えると1+3=4ですから、10^{4}で10000
 10^{1} * 10^{3} = 10^{1+3} = 10^{4}
 10の倍数だけでなく、すべての数が10^{x}という形で表せる。このあたりは
冪乗 - Wikipedia ( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E4%B9%97 )
対数 - Wikipedia ( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0 )
などで勉強してね。

>特にデシベルとの関連について
 実は、人間の感覚も対数なのです。
 人は、音の大きさは、エネルギーの大きさが10倍になっても2倍になった要に感じる。でないと、1万倍の音を聞いたら頭が壊れてしまう。一万倍になっても4倍の大きさにしか感じない。
 明るさだって、光子一個でも感じることができるのに、それが数億個になっても、目が焼ききれない。


 

もちろん計算が楽になるという利点がありますが、そもそも対数は比較するためのものです。

 たとえば、私たちがある二つの学校の人数が、ともに10人増えたと言った場合、この二つが同じ意味かというと、そうとは言い切れませんね。
 A校は、昨年10人しかいませんでしたが、B校は1000人の生徒がいました。
 A校は、2倍に増えたのですが、B校は0.1%しか増えていません。

 今年は、お小遣いが10000円増えたといっても、大して喜ばないA君と、逆立ちして喜ぶB君がいる。なぜならA君...続きを読む

Q対数変換する意味?

私は数学が苦手な文系大学生です。最近「地域分析」という本を読んでいるのですが、たびたび数式を「対数変換すると・・・」と言う風に話が進みます。対数変換をすることの意味がわからないので内容が理解できません。

まず、対数変換とは何なのか?対数変換を行なうと何がどのように変わるのでしょうか?
また、一般的に対数変換とはどのような目的で行なわれるのでしょうか?

ということを文系の学生にわかりやすく教えていただけないでしょうか。
対数変換の内容を理解していないため、質問が的を得ていないかもしれませんが、よろしくお願いします。(また、ここで説明できるような内容でなければ、その旨をお伝えください。)

Aベストアンサー

まず、ここで論じられている「対数」が「常用対数」を意味する
ことを前提として話を進めましょう。

対数に変換するということは、ある数値を
任意の底の値の指数値で表すことを意味します。
具体的に言うと(ここでは常用対数に限定することにしたので)、
ある数値が10(これが常用対数の底の値)の何乗であるのか
ということです。

たとえば、100という数値の常用対数を取ると、
100は10の2乗ですから、「2」となります。
同様に1000は「3」、10000は「4」です。

このように表現すると、正の数値で1以下の小数から
万や億などの非常に大きい値に散らばる数値サンプルを
整理したり表現するのに非常に便利です。

また、対数にしてグラフを作ると、上記のように非常に
大きな数(または0.00000・・・・のように非常に小さい数)
を限られた紙面上でプロットする事ができます。
もしそのプロットした結果が直線になった場合、
その直線の傾きでサンプルの近似式を導き出すこともできます。

具体的例を挙げると、身近なものではpH値。
これはある液体の単位量あたりどのくらい水素イオンが
含まれるかを対数表現したものです。
(厳密には、モル濃度で表した水素イオン濃度の逆数の常用対数)

まとめると、対数は小数から数万・億などの広範囲に散らばる
数値を整理するために使われる道具とお考えになられたら
良いと思います。

まず、ここで論じられている「対数」が「常用対数」を意味する
ことを前提として話を進めましょう。

対数に変換するということは、ある数値を
任意の底の値の指数値で表すことを意味します。
具体的に言うと(ここでは常用対数に限定することにしたので)、
ある数値が10(これが常用対数の底の値)の何乗であるのか
ということです。

たとえば、100という数値の常用対数を取ると、
100は10の2乗ですから、「2」となります。
同様に1000は「3」、10000は「4」です。

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Q対数とか常用対数って

なにがなんだかよくわかりません。logの計算とかはできるのですが、対数ってなんのために使うのですか。logを使わなければ解けない問題も、対数、常用対数の意味や利点がわからないため、「ああ、そうかlogを使えばいいんだな」って発想にいきつかなかないんです。教えていただきたいです。

Aベストアンサー

>対数ってなんのために使うのですか

 いろいろ理由はありますが、初めは、計算が楽になるということから出発しました。かけ算を足し算として計算できる、という面です。

 100×10,000 の結果は 1,000,000 ですが、「10の2乗」×「10の4乗」の結果が「10の6乗」になっており、指数だけ見ると 2+4 = 6 という足し算になっています。

 これは、「指数法則」です。a^b で「aのb乗」を表すことにして、

 a^b×a^c=a^(b+c)

と書けます。

 さて、指数法則が成り立つように考えて、指数に整数以外のものを持って来ることができます。
 例えば √10×√10 =10 ですから、√10 を 10^0.5(10の 0.5乗)と考えると

 10^0.5×10^0.5=10^(0.5+0.5)=10^1

となって、かけ算が 0.5+0.5=1 の足し算になっています。

 そこで、「全ての数を 10の何乗かで表す」ことができれば、全ての数のかけ算を足し算として表すことができます。

 例えば、2 は、およそ 10の 0.301乗、5は 10の 0.699乗と表せ、

 2×5=10^0.301×10^0.699=10^(0.301+0.699)=10^1

のような計算になります。

 このような計算をするためには、「2が10の0.301乗である」というようなことが、全ての数についてわかっている必要があります。電卓やパソコンが普及した今では見かけることも少なくなりましたが、たくさんの数について「その数が10の何乗か」ということを書いた「対数表」というものがあります。これを見れば、ややこしい二つの数のかけ算が、足し算をすることでできることになります。

 で、「ある数が10の何乗か」ということを「対数」といいます。「2の対数は 0.301 である」ということです。このとき基準になる 10 を「対数の底(てい)」と言います。

 このように考え出された対数ですが、底は必ずしも 10 である必要はなく、どんな数についても「ある数が何かの何乗か」を考えることができます。

 log(2)8=3 という式では、底が2です。「log(2)8」という式で一つの数を表し、それは「8は2の何乗か」を表しています。

 ただ、計算の便宜上は、10進法の計算では 10 を底とするのがやりやすいので、「常用対数」として使われます。

 初めは計算の便宜上考えられた対数ですが、いろんな面で役立つことが分かり、数学の仕組みを考える上で大事なものになっています。

 もう一度

>対数ってなんのために使うのですか

に戻りますと、対数はきわめて基本的な数の性質に関係するので、一言で「○○のために使う」ということはできません。「かけ算を何のために使うのか」ということに答えにくいのと同じくらい、広い分野に関係しています。

 自然科学では、底を 10 ではなく 2.71828…… という無理数にする、というのが普通で、「自然対数」と呼ばれ、いろんな分野で必要不可欠なものになっています。

>対数ってなんのために使うのですか

 いろいろ理由はありますが、初めは、計算が楽になるということから出発しました。かけ算を足し算として計算できる、という面です。

 100×10,000 の結果は 1,000,000 ですが、「10の2乗」×「10の4乗」の結果が「10の6乗」になっており、指数だけ見ると 2+4 = 6 という足し算になっています。

 これは、「指数法則」です。a^b で「aのb乗」を表すことにして、

 a^b×a^c=a^(b+c)

と書けます。

 さて、指数法則が成り立つように考...続きを読む

Q自然対数の利用法

自然対数eがどのようなものかは沢山の教科書に説明されていますが、どのような場合に利用したくなるか、言い換えれば、どのような場合に便利なのかがいまひとつ分かりません。簡単に具体例をまじえて教えて頂けませんでしょうか?
それと電卓でe^(-2)
はどのように計算するのでしょうか?
つまり
-2=log_eA
のAを知りたいわけですが、どうしたらいいか分かりません。

Aベストアンサー

具体的な意味を知りたいなら↓のURLからどうぞ
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/e/e.htm

自然対数を体感して理解したいなら↓のURLからどうぞ
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/napier/napier2.htm

-2=log_eAを計算すると言う事は
e^A=-2 (^は何条という意味 3^2=9)
を計算するのと同じです。e=2.7182・・・・なので
自分で計算するのはかなり難しいです。後は電卓で計算しましょう。


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