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△ABCの外心をO、内心をIとする。

(1)OとIが一致すれば、△ABCは正三角形であることを証明せよ。

(2)OとIが一致しないとき、AIの延長と△ABCの外接円の交点をDとする。このとき、OD⊥BCであることを証明せよ。

頑張ったのですが、解けません。
お力を貸していただけませんか?

よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

三角形の内心、外心の意味は、それぞれ


内接円の中心、外接円の中心ですが、
作図法も覚えておくと、理解が深まります。

内心は、角の二等分線の交点、
外心は、辺の垂直二等分線の交点です。

よって、内心と外心が一致する三角形では、
角の二等分線が対辺を垂直二等分する
ことが解ります。
それって、各二辺について二等辺三角形だ
ということですよね。
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この回答へのお礼

丁寧なお返事有難うございました。
(1)は、理解できました。
(2)を解いていますが、どうしても証明できません。

もう一度定義を理解してみます。

お礼日時:2010/04/03 22:58

どうがんばったのですか


内心外心の意味が理解できていれば三角形を眺めているうちに解は見えてきます
三角形の性質が理解できていれば簡単です
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この回答へのお礼

作図をしながら、多方面から考えたのですが、(2)の回答がでません。

ご指摘有難う御座います。
もう少し、頑張ってみます。

お礼日時:2010/04/03 23:01

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Q外心をO 内心をIとする。OIを求めよ

AB=8 BC=7 CA=5の三角形があり、外心をO 内心をIとする。OIを求めよ。
という問題の解説をどなたかお願いします。
オイラーの定理を使えば簡単なのですが 数IAの問題として出ていたので
数IAの知識だけで解けるような解説をお願いします。

Aベストアンサー

数1A的に解きたいなら、適当に補助線など加えて解けばいいのでは。

とりあえず、外接円の半径 R=(7√3)/3 および内接円の半径 r=√3 までは求まったものとします。
(#1さんの回答は正弦定理の式がちょっと間違っているのでRが正しくありません)

O, I からそれぞれ辺ABに下ろした垂線の足を D, E 、さらにOから直線IEに下ろした垂線の足をFとすると、

DはABの中点なので、AD=4
Eは内接円とABの接点なので、AE=(AB+BC+CA)/2-BC=3
∴ OF=DE=AD-AE=1
また、OA=R=(7√3)/3, IE=r=√3
∴ FE=OD=√(OA^2-AD^2)=(√3)/3
∴ IF=IE-FE=√3-(√3)/3=(2√3)/3
∴ OI=√(OF^2+IF^2)=(√21)/3


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