
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
別に既約分数じゃなくてもいいんですが。
考え方として2つあります。ひとつめは、m/nが既約でなかったとしてもm,nの最大公約数で約分すれば既約になるんだから、とりあえず既約分数を作ってから話をはじめようや、という考え方。
よくある√2が無理数であることの証明のキモは、
既約分数から始めたハズなのに、m/nは既約ではないという結論が出る → 矛盾
という部分ですから、まぁとりあえず既約分数を作るという考え方は大切だと思います。
ふたつめは、m/nが既約という仮定を置かない考え方です。
√2=m/nと置いて両辺を二乗し分母を払うことで、m,nが2を共通因数として持つことがわかりますね。
ではm,nをそれぞれ2で割って
m/2 = m'
n/2 = n'
とすると、√2=m'/n'と表せますから、ここからまた先ほどと同じ理論展開を繰り返しましょう。
するとm',n'も2を共通因数に持つことがわかるはずです。
では更に
m'/2 = m''
n'/2 = n''
として同じ事を繰り返せば、m'',n''もまた2を共通因数に持つことがわかります。
この操作は何回でも繰り返せるので、元のm,nは何回でも2で割れるということになります。
ですが、mもnも有限な整数である以上、無限に多くの因数を持つことはあり得ないので矛盾であり、√2が有理数ではない事が分かります。
このようにm/nが既約であると仮定しなくても証明は出来るのです。
No.2
- 回答日時:
背理法で証明してるんですよね. だとしたら, 証明を追っていくと最後の方で「m/n が既約である」ことを使っているはずです. 証明を読んでください.
あ~.... 「分数が既約である」というのがどういう意味か, わかってますよね?
No.1
- 回答日時:
既約分数じゃなくていいんですが、m/nがお互いに「素」じゃないと話が先に行きませんよね。
ですので証明のステップ(m/nをお互いに「素」になるまで共通約数で除す)を一つ省いているだけです。お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
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