大学数学の問題

次の問題の解答を教えてください。
問題：任意の実数αはある単調増加な有理数列の極限となることを示　　　　せ。
※可能であれば順序立てて丁寧に解答してくださると助かります。

No.2 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/04/16 21:26

実数の定義を補足にどうぞ。

No.1 回答者： proto 回答日時： 2010/04/16 19:53

例えば、π=3.1415926535...なら

　　a(1) = 3
　　a(2) = 3.1
　　a(3) = 3.14
　　a(4) = 3.141
　　a(5) = 3.1415
　　...
　　a(n) = [π*(10^n)]/(10^n)
(但し、[x]はガウス記号)
のように数列a(n)を定義すれば、a(n)はπに収束する。

これはπに限らず、実数αに対して
　　a(n) = [α*(10^n)]/(10^n)
とすれば、a(n)は単調増加でαに収束する。

あとはαが有理数の場合、a(n)は広義単調増加になるのでそれを考慮することと、a(n)がαに収束することを実際に証明すること。