電線の抵抗の問題で質問があります。

電線の抵抗の問題で質問があります。

ＡＢ二本の同材質の銅線がある。Ａは直径1.6[mm]
長さ100[ｍ]、Ｂは直径3.2[mm]長さ50[ｍ]である。

Ａの抵抗はＢの抵抗の何倍か？

という質問があります。

Rは抵抗　単位はΩ
Lは導体の長さ　単位はｍ
Ａは導体の断面積　単位　m2
ρは抵抗率　単位Ωｍ？？？
Ｄは断面積の直径　単位はmm
だそうです。




この場合

R＝ρ(４L/πＤ＾2)

(言葉にすると　R＝ロー×パイDの二乗分の４L)でしょうか・・・

こちらの式に当てはめて

※※※4×100
Ra＝ρ-------
※※※π(1.6)＾2


※※※4×50
Rb＝ρ--------
※※※π(3.2)＾2

Ra/Rbなので


※※400ρ
※-------
※※π(1.6)＾2
＝-------------
※※200ρ
※--------
※※π(3.2)＾2


分母の中に分数が入っているのでそれを消すために
π(3.2)＾2を分母と分子に×

※400ρ
-------　×(3.2)＾2
※π(1.6)＾2
＝-------
※200ρ


※※※※(3.2)＾2
400ρ　--------
※※※※(1.6)＾2
＝――――――――
　　200ρ


400ρ×(3.2/1.6)＾2
＝－－―
200ρ

＝2×2＾2

＝8

８倍

でいいと思うのですが、
(3.2)＾2
----
(1.6)＾2
の２乗が一つにまとまり

(3.2/1.6)＾2

に変わるのですが、なぜ１つにまとめられるのか
教えてください。

又、銅線が直径ではなく、半径の場合はどうすればよいでしょうか？

※※※100
Ra＝ρ--------
※※π(0.8)＾2


※※※50
Rb＝ρ-------
※※π(1.6)＾2

だそうですが、直径ではあった分子の４×の＜４＞が無いのですが
理由はなぜでしょうか？

単位でこのような単位をテキストに書いてあるのですが
イマイチぴんときません。
どのように理解すればよいでしょうか？


※※※L
R＝ρ―――
※※※A

※※※※ｍ
Ω＝Ωｍ-----
※※※※m2

と

※※※L
R＝ρ―――
※※※A

※※Ωmm2
Ω＝-----
※※ｍ

※m
＝----
※mm2

Ωmm2/m
はオーム平方ミリメーターパーメーター
と言うそうです。？？？？

電工の試験勉強をしているのですが、なかなか難しくなると
解けません。

※印は数字がずれないようにするためです。

長々と書きましたが、ご指導よろしく御願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： mtaka2 回答日時： 2010/04/22 16:01

> (3.2)＾2

> ----
> (1.6)＾2
> の２乗が一つにまとまり
>
> (3.2/1.6)＾2


式の意味を考えればそのままです。
(3.2)^2
-------
(1.6)^2

3.2×3.2
=---------
1.6×1.6

3.2　 3.2
=----×----
1.6　 1.6

=(3.2/1.6)^2


> 又、銅線が直径ではなく、半径の場合はどうすればよいでしょうか？

闇雲に式を見るのではなく、式の意味を理解してください。
抵抗率ρは、「断面積1平方mmあたり、長さ1mあたりの抵抗値」です。
抵抗は、断面積に反比例、長さに比例します。
(並列・直列の抵抗値の考え方の延長で、
断面積が2倍になる=2つ並列になる→抵抗は半分になる、
長さが2倍になる=2つ直列になる→抵抗は2倍になる
と考えればわかりやすいかと)

ですから、抵抗率ρを使って、抵抗値は
R=ρ×長さ÷断面積
で計算できます。

直径Dの円は、半径がD/2ですから、面積はπ×半径^2=πD^2/4になります。
それと、長さLを上の式に代入すれば、
R=ρ×L/(πD^2/4)=ρ4L/πD^2

という式が出てきます。


直径ではなく半径の場合でも、考え方は同じ。
半径Dの円の面積はπ×半径^2=πD^2になります。
それと、長さLを上の式に代入すれば、

R=ρ×L/(πD^2/4)=ρL/πD^2

になります。



>単位でこのような単位をテキストに書いてあるのですが
>イマイチぴんときません。

上述の「R=ρ×長さ÷断面積」を式で書いたものです。
つまり、抵抗は長さに比例し、断面積に反比例するの意味。ρはその比例定数になるわけです。
ρの単位ががどうなるかはR、L、Aの単位で変わってきます。
RはΩ以外の単位を使うことはありませんし、Lは通常メートル単位ですが、
A(断面積)は、平方メートルを使う場合と平方ミリメートルを使う場合があります。

平方メートルの方は単位が揃っているので式としてはわかりやすいすが、実際の計算で「断面積1平方メートル」は非現実的なので使いにくい。
平方ミリメートルの方は、式としては単位は複雑になりますが、実際の計算で使いやすい。
という違いがあります。

断面積が平方メートル単位の場合、ρの単位はどうなるかを考えると、
Ω・mにすると、
ρL/Aの単位は、ρ:Ω・m、L:m、A:m^2を入れると、
(ρの単位)×(Lの単位)÷(Aの単位)=(Ω・m×m÷m^2) = Ωと、
めでたくRの単位Ωに一致します。

断面積が平方ミリメートル単位の場合、ρの単位はどうなるかを考えると、
Ω・mm^2/mにすると、
ρL/Aの単位は、ρ:Ω・mm^2/m、L:m、A:mm^2を入れると、
(ρの単位)×(Lの単位)÷(Aの単位)=(Ω・mm^2/m×m÷m^2) = Ωと、
めでたくRの単位Ωに一致します。

この回答へのお礼

大変分かりやすい解説・回答ありがとうございました。

お礼日時：2010/04/24 01:37

No.1 回答者： Saturn5 回答日時： 2010/04/22 15:37

Ｂの抵抗について

直径２倍 →断面積４倍→抵抗（１／４）倍
※断面積が大きいほど流れる場所が増えて流れやすくなる。
　抵抗を並列につなぐのと同じ。
長さ（１／２）倍→抵抗（１／２）倍
※長いほど抵抗は大きい。抵抗をお直列につなぐのと同じ。
よって、ＢはＡの（１／８）倍になるので、ＡはＢの８倍。

この回答へのお礼

回答・解説ありがとうございました。

お礼日時：2010/04/24 01:40