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固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

( -7 -5 )
( 13 9 )

の2x2行列で固有値を求めると 1±2i になると思いますが

Av = λv の形で固有ベクトルを求めようとすると

( -8 + 2i ) x - 5 y = 0
13 x + ( 8 + 2i ) y = 0

の形になり、その先を求めることが出来ません。
何度も計算したので最後の2つの式は間違いは無いと思うのですが、
固有値が複素数の時は、Av = λv の方法で計算することは出来ないということでしょうか?
またどのように計算できるのでしょうか?
お知恵をお貸しいただければ幸いです。

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A 回答 (1件)

固有値は1±iになるかと…



そこから先の計算は普通に実数の時と同じ方法で計算できます.

この回答への補足

すみません、そこが間違ってたんですね・・・・
一生懸命その先を解いてました・・・・w

ありがとうございましたorz

補足日時:2010/08/24 06:01
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Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。)

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう?
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて1になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます.

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n...続きを読む

Q行列における固有値、固有ベクトルについて

少しばかり固有値、固有値ベクトルについて、分からないことがあったため質問します。
 
 添付画像に式を示します。

 この式を解くとλ=1という固有値が出ます。しかし、λ=1を行列式に代入すると全てが0になり固有値ベクトルを求めることができません。
 回答のページには、途中計算が省かれているため、過程がわかりません。こういった場合には、どう個体値ベクトルを求めれば良いのか、教えてもらえませんか?

Aベストアンサー

ANo.1です.少し補足を.

この問題を行列の対角化ととらえるとそれはすでに解決しています.単位行列は対角行列ですから.

また,固有ベクトルが何かという問題もすでに解決しています.任意の正則行列Pについて

P^{-1}EP=P^{-1}P=E

ですから,固有ベクトルは任意の一次独立ベクトルの最大セットで,任意の正則行列のすべての列ベクトルセットをとればよいです.

x=(s,t)^Tとしたベクトルは任意の2次元ベクトルですが,これのs,tを2組とって一次独立ベクトルを2つ探してもよいです.
例えば(s,t)=(1,1),(1,-1)として

x_1=(1,1)
x_2=(1,-1)

としてもよいです.無数にあります.しかし,求めろと言われればやはりもっとも簡単なのは基本ベクトルの(1,0)^T,(0,1)^Tの2つだということです.

どれをとるかは質問者様の自由です.

ただ,基本ベクトルの考えは物理学(古典力学や量子力学など)のような応用分野では重要です.

Q3×3行列の固有値重解時の対角化の方法

行列A=
| 1 2 2 |
| 0 2 1 |
|-1 2 2 |
とします。
固有値、固有ベクトルを求め、
正則行列Pを用いて対角化する時の手順ですが、
何度やっても最終的に対角化できません。
おそらく固有ベクトル・正則行列の求め方に問題があるのだと思うのですが、
問題点を指摘して頂けないでしょうか?
解答が手元に無く、皆さんに助けを求めさせて頂きました。

【固有値】
|A-λE|=0として
(λ-1)(λ-2)^2=0
固有値λ=1, 2(重解)

【固有ベクトル】
(A-λE)X=0より

(i)λ=1の時
|0 2 2||X1|
|0 1 1||X2|=0
|-1 2 1||X3|

∴{X2+X3=0
 {-X1+2X2+X3=0
X3=kとおくと
X2=-k,X1=-k

∴固有ベクトル
  |-1|
p1=k|-1|
  | 1|

(ii)λ=2(重解)の時
|-1 2 2||X1|
| 0 0 1||X2|=0
|-1 2 0||X3|

∴{-X1+X2+X3=0
 {X3=0
 {-X1+2X2=0

X3=X1-X2
X1=s,X2=tとおくと
X3=s-t

∴固有ベクトル
  | 1 | |0|
p2=s| 0 |+t|1|
 |0.5| |1|より

直行行列
  |-1 1 0|
P= |-1 0 1|
  | 1 0.5 1|
とする。
また、
直交行列の逆行列
   |-1 -2 2|
P-1= 1/5| 4 -2 2|
   |-1 3 2|

これらを用いて計算すると
    |1 -6 -4|
P-1AP= |0 14 36|
    |0 1 26|

となり、途方にくれてしまいます。
|1 0 0|
|0 2 0|
|0 0 2|になってくれません。
どこで間違いをおしているのでしょうか?
教えて下さい。

行列A=
| 1 2 2 |
| 0 2 1 |
|-1 2 2 |
とします。
固有値、固有ベクトルを求め、
正則行列Pを用いて対角化する時の手順ですが、
何度やっても最終的に対角化できません。
おそらく固有ベクトル・正則行列の求め方に問題があるのだと思うのですが、
問題点を指摘して頂けないでしょうか?
解答が手元に無く、皆さんに助けを求めさせて頂きました。

【固有値】
|A-λE|=0として
(λ-1)(λ-2)^2=0
固有値λ=1, 2(重解)

【固有ベクトル】
(A-λE)X=0より

(i)λ=1の時
|0 2 2||X1|
|0 1 1||X2|=...続きを読む

Aベストアンサー

固有値2に対する一次独立な
固有ベクトルはひとつしか
作れませんよね?

こういう場合は対角化できないのです。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html

Qエルミート行列の固有値

エルミート行列の固有値は必ず実数になることはどうやって示せますか。

Aベストアンサー

どこの教科書にも載ってるような話だけど、
本で調べなかったの?

行列 A の転置共役を A* と書くことにする。
行列 H がエルミートであるとは、H* = H のこと。

H の固有値 λ に属する固有ベクトルを x と置く。
(x*)Hx = (x*)(Hx) = (x*)λx = λ(x*)x.
また、
(x*)Hx = (x*)(H*)x = ((Hx)*)x = ((λx)*)x = (λ*)(x*)x.
固有ベクトル x は零ベクトルではないから、
λ(x*)x = (λ*)(x*)x の両辺を (x*)x で割って、
λ = λ*. これは、λ の共役が λ と等しいこと、
つまり、λ が実数であることを示している。

Qn×n複素対称行列の対角化

[1 i]
[i 3]
が対角化できるかどうか?の問題なのですが
行列式:4,固有値:2のみ,固有ベクトルの張る空間:a・(i,1)^T
だと思うのですが正しいですか?
固有空間の次元が1であり2でないので前記行列は正則行列によって対角化できないと結論づけていいのでしょうか?

「もしも、対称行列が一次独立になった場合、 行列の対角化はどのようにして求めたら良いのでしょうか? 」という質問があったのですが対称行列に「一次独立」は定義されているのでしょうか?
私は「正則」のことだと思うのですが

Aベストアンサー

物理屋の siegmund です.

nuubou さんの結論のとおりと思います.
線型代数の定理に
「n 次正方行列 A に対して,P^(-1)AP が対角行列になるようにできるためには,
A に関して n 個の線型独立な固有列ベクトルが存在することが必要十分である」
というのがあります.
もちろん,P^(-1) が存在するためには P が正則である必要がありますね.
線型独立な固有列ベクトルを p1,p2,...,pn とすれば,それらを並べた行列
(p1,p2,...,pn) が P になります.
nuubou さんが固有値と固有列ベクトルを調べたのは,
上の定理に従ったことになります.
この定理は P がユニタリかどうかは触れていません.
つまり,一般にはユニタリでない行列によって対角化されると言うことです.

A が正規行列(すなわち,A(A*) = (A*)A がなりたつ,A* は A の随伴行列)
であるときは,ユニタリ行列で対角化できます.
つまり,
「正方行列 A に対して U^(-1)AU が対角行列になるようなユニタリ行列 U が
存在するためには,A が正規行列であることが必要十分である」
です.
U は上の p1,p2,...,pn を正規直交基底にして並べればOKです.

>「もしも、対称行列が一次独立になった場合、
> 行列の対角化はどのようにして求めたら良いのでしょうか? 」
> という質問があったのですが対称行列に「一次独立」は定義されているのでしょうか?
ちょっと前に noubou さんが回答された
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=188684
ですよね.
私も,行列に対して1次独立とは言わないように思います.
ベクトルならよく目にしますが...
質問者のお礼の
>正方行列は一次独立にならないんですね!
正方行列だから1次独立にはならない(他の行列だったら1次独立になる)
と思われているような気がします.
noubou さんの回答の
> ・複素数の正規行列はユニタリ行列で対角化される
> ・実対称行列は直交行列で対角化される
はその通りと思います.
特にエルミート行列(A = A*)の対角化は量子力学などで物理屋にはおなじみです.

物理屋の siegmund です.

nuubou さんの結論のとおりと思います.
線型代数の定理に
「n 次正方行列 A に対して,P^(-1)AP が対角行列になるようにできるためには,
A に関して n 個の線型独立な固有列ベクトルが存在することが必要十分である」
というのがあります.
もちろん,P^(-1) が存在するためには P が正則である必要がありますね.
線型独立な固有列ベクトルを p1,p2,...,pn とすれば,それらを並べた行列
(p1,p2,...,pn) が P になります.
nuubou さんが固有値と固有列ベクトルを調べた...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qベクトル(1,i)の規格化

ベクトル(1,i)の規格化
どうすればできますか?

Aベストアンサー

1^2 + i^2 = 0 って言いたいんじゃないかな?

実ベクトル空間の内積は、
一方のベクトルの転置と
もう一方のベクトルの行列積ですが、

複素ベクトル空間の内積は、
一方のベクトルの転置共役と
もう一方のベクトルの行列積ですよ。

x =
  ( 1 )
  ( i )  に対して、

|x|^2 = x・x = (x^*) x =
  ( 1 -i ) ( 1 )
       ( i )  = 1・1 + i・(-i) = 2。

Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む


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