負の対数について・・・

負の対数について・・・

負の対数についての質問は数多くありますが高校生の知識では難しくてよくわかりません。
それを理解すれば解決するのかもわかりませんが、もしよければ
さっき浮かんだ疑問を解決して下さる方解答の方宜しくお願いします。

疑問までプロセスがあります。
そのプロセス自体に間違いがあるかもしれませんので、見つけたら教えて下さい。


・疑問までのプロセス

まず-3から-2まで(1/x)を積分するという問題がありました。
習った定積分のやり方通り行うと、最後に
ln(-2) - ln(-3) = ln(2/3)
という形で答えが出ます。
まずここで、最終的には見覚えのある形になったものの、
一時的に真数を負の数にしてもいいのでしょうか。

もしそれが良いとすると、以下が成り立つ気がしました。

ln(-e) - ln(-1) = (-e) / (-1) = e
ln(-e) + ln(-1) = (-e) * (-1) = e

両辺足し合わせて、

2 * ln(-e) = 2e
∴ ln(-e) = e

つまり e^e=-e
となって矛盾。

んーアホなミスしてそうで怖いですが宜しくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/09/15 19:30

x<0のときは

I=∫[-3,-2]1/xdx=[log|x|] [-3,-2]=log|-2|-log|-3|=log(2)-log(3)=log(2/3)
となります。

よく分からないなら
積分範囲でx<0なので　x=-tと置換すると　t>0
I=∫[3,2] -(1/t)(-1)dt=∫[3,2] 1/t dt=-∫[2,3] 1/t dt
=-[log(t)] [2,3]=-{log(3)-log(2)}=-log(3/2)=log(2/3)
と正の積分変数tの区間での積分になります。

対数の真数は正で問題なく積分できます。

グラフを描いて何処の面積を求めているか、関数が原点対称で何処の面積と等しいかを
考えて見てください（関数の符号と積分方向に注意）。

この回答へのお礼

早速のご解答本当にありがとうございます！
（めちゃ早くてビックリしました。）


＞x<0のときは
＞I=∫[-3,-2]1/xdx=[log|x|] [-3,-2]=log|-2|-log|-3|=log(2)-log(3)=log(2/3)
＞となります。

そうでした！公式
∫(1/x)dx=log|x|
と絶対値を付けることを忘れていました(+_+;)

あえて置換積分することで正の範囲で積分するというやり方も、
とてもわかりやすかったです。。

お礼日時：2010/09/15 23:47

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/15 22:53

安易に ∫(1/x)dx = log|x| とすることは、多くの危険をはらんでいます。

x > 0 のときの ∫(1/x)dx と、x < 0 のときの ∫(1/x)dx は、
ひとつの関数としてつながらないのだ ということを忘れないために、
∫(1/x)dx = log|x| ではなく、∫(1/x)dx = log(±x) と書くことを
普及させたいと願っているのですが…　理解者は少ないですね。

高校の範囲で説明することはできませんが、大人の事情によって、
∫(1/x)dx を複素積分で考えると、見通しがよくなります。
複素 log x は、x < 0 に対して虚数の値を持ち、しかも、
log x = (Log x) + (2πi)n ただし n は任意の整数
という「多価」をとる関数です。
ln(-2) - ln(-3) = ln(2/3) となるのは、
ln(-2) と ln(-3) で、n に同じ値が選んであった場合だけなのです。

ln(-e) - ln(-1) = (-e) / (-1) = e と
ln(-e) + ln(-1) = (-e) (-1) = e とでは、
２ヵ所の ln(-1) で n の値が違うから、オカシナことが起こったのでした。

∫[-3,-2](1/x)dx = log|-2| - log|-3| = log(2) - log(3) とやってしまうと、
log|-2| と log|-3| を別個に扱うことになって、その辺の事情が見えてこない
点が、よくないのです。

この回答へのお礼

お早い解答ありがとうございます！
（迷ったのでベストアンサーは解答順にさせて頂きましたm(__)mスミマセン）

今回のミスは絶対値忘れでしたが、もう一つ僕が知りたかった
「負の真数を持つ対数」について、とてもわかりやすく説明をありがとうございます。

それが虚数になることや、
それについて考える時は多価だと意識し、(2πi)nのnの値に注意することなどを
学びました。

あとその区別を意識させるための、
∫(1/x)dx = log(±x)
という表記も普及するといいです。

お礼日時：2010/09/16 00:28