この問題の解き方を教えてください！

この写真の481の(2)の解き方を教えてください！
明日の小テストの範囲なんですが、解答にはlog2としかありませんでした。
どうやって解くのか教えてください！
お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2017/06/20 22:04

区分求積法の問題になりますが、答えは本当にlog2ですか？

計算したら、log(3/2)になりましたが...。

lim[n→∞] (1/n)Σ[k:n→2n](n+1)/(n+k)
=lim[n→∞] (1/n){ Σ[k:1→2n](n+1)/(n+k) - Σ[k:1→n-1](n+1)/(n+k) }　←[n→2n]を、[1→2n]-[1→n-1]としています。
=lim[n→∞] (1/n){ Σ[k:1→2n]{ 1/(1+(k/n)) + 1/n(1+(k/n)) } - Σ[k:1→n-1]{ 1/(1+(k/n)) + 1/n(1+(k/n)) }　←下記※
=lim[n→∞] (1/n)Σ[k:1→2n]1/(1+(k/n)) + (1/n)(1/n)Σ[k:1→2n]1/(1+(k/n)) - (1/n)Σ[k:1→n-1]1/(1+(k/n)) - (1/n)(1/n)Σ[k:1→n-1]1/(1+(k/n))
=∫[x:0→2] 1/(1+x) dx + lim[n→∞](1/n)∫[x:0→2] 1/(1+x) dx - ∫[x:0→1] 1/(1+x) dx - lim[n→∞](1/n)∫[x:0→1] 1/(1+x) dx
=(log3 - log1) + 0 -(log2 - log1) + 0　←定積分に1/nが掛かっている項は0に収束する
=log3 - log2
=log(3/2)

※上記で、(n+1)/(n+k)を、n/(n+k) + 1/(n+k)と分解し、さらに、第1項は分母分子をnで割り、第2項は分母のnをくくり出して、
1/(1+(k/n)) + 1/n(1+(k/n))と変形しています。

この回答へのお礼

すいません、答えはlog3/2でした。
皆さんありがとうございます。
ベストアンサーは答えが一番詳しかったこの方にしました。

お礼日時：2017/06/21 02:26

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2017/06/20 22:05

与えられた式＝{(ｎ＋1)/ｎ}Σ(1/ｎ＋ｋ)　となり、

Σ(1/ｎ＋ｋ)＝(1/ｎ)Σ{(1/(1＋ｋ/ｎ)｝と変形できて、この分母はｋがｎから2ｎ
まで動くとき2から3まで1/ｎきざみで動くから、定積分の定義より
limΣ(1/ｎ＋ｋ)＝∫ｄｘ/ｘ（積分範囲は2から3）＝log(３/２)
また、(ｎ＋1)/ｎ→1　だから
求める極限値はlog(３/２)です。
ちなみにlog2は（1）の答えです。（笑）

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2017/06/20 19:01

左の（1）にならって、Σを1から2ｎまでのと、1からｎ-1までのとの差にすればどうですか？

うまくいかなかったらごめんなさい。