3変量の分散についての質問です．

Question

3変量の分散についての質問です．

例)一変量の分散
鉛筆の長さ
4cm
3cm
5cm
6cm
3cm
と，5つのサンプルがある場合，
その鉛筆の長さの分散は，
平均→(4+3+5+6+3)/5=4.2cm
標本分散→{(4-4.2)＾2+(3-4.2)＾2+(5-4.2)＾2+(6-4.2)＾2+(3-4.2)＾2}/5=1.36
となります．

しかし，多変量の分散に対しての扱い方が判りません．
例)3変量の分散
あるサンプル郡の色のRGB値
R G B
1 3 4
2 5 6
3 4 4
2 2 2
4 4 4

上記のサンプルを一群として，このような他の郡（2郡，3郡）との比較を考えています．
この場合の分散は
(1)R,G,Bそれぞれの分散ベクトルの比較
(2)共分散行列を求め，どうにかして比較（どうにか，と言う部位が思いつきませんが・・）

どのような対応を取ればよいでしょうか？

kamiyasiro · Accepted Answer

重心からの距離との提案ですが，少し追加があります．
単なるユークリッド距離ではなく，相関を考慮して求めた距離の2乗値のことを
マハラノビスの汎距離といいます．
マハラノビスの汎距離は，相関係数行列，分散共分散行列のいずれから求めても
その期待値は次元数と一致します．
個々の観測点のばらつき（重心に近いか遠いか）の指標にはなりますが，
群の平均は常に同じ（３次元なら３）になり，群間の比較にはなりません．

ですから，１群，２群，３群をプールしてマハラノビスの汎距離を求め，
群毎の平均で比較することが良いと思います．

次に，事例に上がっている「身長，体重」ですが，
群のばらつきをどうとらえるかと視点で，良いヒントがあると思います．

身長と体重にはもともと相関があって，関係線がが引かれます．
（個々の標本から関係線に下ろした垂線の長さの２乗和を最小にしたもので主成分線と言われます）
・群のばらつきとは，重心からの分布の楕円の大きさである
・群のばらつきとは，身長依存分を除いた肥満度である

前者は，マハラノビスの汎距離
後者は，垂線の長さ　と考えることができます．

例えば，エクササイズの実施群／非実施群の違いを見るとき，前者では効果無しとなるでしょう．
エクササイズでは身長を変えることができないからです．
（同じ身長の者だけ集めて，２群に分ければよいですが，身長によって効果が違うのではないか
という点に関して疑義を生じます）

つまり，RGBの観測値の中には，もともとブライトネス（サイズファクター），
コントラスト（シェイプファクター）があって，それには身長体重のような
一定の関係があるとします．
それは，撮影対象物あるいは撮影環境や設定値に依存し，
撮像素子や変換器のばらつきではないので，除く必要があります．
もちろん，それらの前提を固定して測定すればいいのですが，
他のケースにおいて，効果が違うのではないかという疑義が生じるので，
いくつかの観測点をサンプリングしています．
すると，３次元空間内に横たわる一定の平面（身長，体重の３次元版）が形成され，
それに下ろした垂線の長さの２乗和がその群のばらつきであると考えることが
できます．

通常，誤差は正規分布をとりますが，
このような（距離^2）はχ２乗分布となります．
後者のばらつきは，相関係数行列の最小固有値に一致します．
このときは，全体をプールせず，各々求めればいいです．

ただ，最小固有値の固有ベクトルが平面の法線ベクトルを与えていますので
それが，群毎に著しく違うことが無いということを確認しておく必要はあると思います．

ken-nosuke · Answer

３変量を３次元空間での距離とおく考えはどうでしょう。

１変量の分散は、直線上の各点とその重心点（平均点）の距離の２乗の平均です。
２変量の分散は、平面状の各点とその重心点の距離の２乗の平均。

同様に３変量の分散は、直行するＲ軸、Ｇ軸、Ｂ軸の空間に位置する各点とその重心点との距離の２乗の平均とする。

今回の例題のように、ＲＧＢが同じ性質（単位）の数値あれば、この考え方でよいと思います。
身長と体重のように、単位が異なると分散の意味があるのかどうか？

たとえば、「身長がほぼ同じで、体重がばらついている郡と、身長はばらついているが、体重はほぼ同じ郡を比較して、分散が同じだったら、ばらつきが同じとである」といっても意味がない。

3変量の分散についての質問です．

重心からの距離との提案ですが，少し追加があります．

３変量を３次元空間での距離とおく考えはどうでしょう。

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