No.1ベストアンサー
- 回答日時:
分散は、ここでは不偏分散ではなく標本分散でしょうね。
高校課程では不偏分散を教えていないから。という前提で説明しますと、
(分散)=(偏差平方和)/n
です。
全体の分散を求めるためには、全体の偏差平方和が必要です。そこで、個々の分散からそれを求めていきます。
8個のデータの偏差平方和:4×8=32
12個のデータの偏差平方和:9×12=108
さて、これらは、それぞれの平均からの乖離の2乗和ですが、全体の偏差平方和を考える時は全体平均である6からの偏差も考えねばなりません。
そこで、平均の差の2乗和を加えます。
8個のデータの平均偏差の2乗和:(3ー6)^2×8=9×8=72
12個のデータの偏差平方和:(8-6)^2×12=4×12=48
これらを加えると、
32+108+72+48=260
全体の平均からの偏差平方和が260ですから、
(分散)=260/20=13
導出終わり
No.4
- 回答日時:
いったんこの問題は置いといて、一般に、データの個数をN, データをx[i](i=1,2,..,N)とし、Σはi=1〜Nの総和だとしますと、
平均μは
μ = (Σ(x[i]))/N
だから
Σ(x[i]) = μN
ですね。そして分散σ²は
σ² = (Σ(x[i] - μ)²)/N
= ((Σ(x[i]²) - 2μx[i] + μ²))/N
= ((Σ(x[i]²) - (Σ(2μx[i])) + (Σ(μ²)))/N
= ((Σ(x[i]²) - 2μ(Σ(x[i])) + μ²N)/N
= (Σ(x[i]²))/N - 2μ(Σ(x[i]))/N + μ²
= (Σ(x[i]²))/N - 2μ(μ) + μ²
= (Σ(x[i]²))/N - μ²
これを標語的に言えば「分散は、データの2乗の平均と、データの平均の2乗の差」ということです。(これはよく出てくるんで、憶えておいて良いと思いますね。で、)そういうわけだから
Σ(x[i]²) = (σ² + μ²)N
が成り立つ。
さて問題に戻って、
N₁=8個のデータx₁[i](i=1,2,..,N₁)の平均をμ₁、分散をσ₁²とすると
Σ(x₁[i]) = μ₁N₁
Σ(x₁[i]²) = (σ₁² + μ₁²)N₁
N₂=12個のデータx₂[j](j=1,2,..,N₂)の平均をμ₂、分散をσ₂²とすると
Σ(x₂[i]) = μ₂N₂
Σ(x₂[i]²) = (σ₂² + μ₂²)N₂
そして、両者を合わせたN個
N = N₁ + N₂
のデータx₁[i](i=1,2,..,N₁), x₂[j](j=1,2,..,N₂) の平均をμ、分散をσ²とすると、N個のデータ全部の合計は ((Σ(x₁[i]))+ (Σ(x₂[j])) だから
μ = ((Σ(x₁[i]))+ (Σ(x₂[j])))/N
= (μ₁N₁ + μ₂N₂)/N
(なので「このデータ全体の平均値は,6である。」とわざわざ教えてもらう必要はありませんでした。)
また、N個のデータ全部について、それぞれの2乗の合計は ((Σ(x₁[i]²)) + (Σ(x₂[j])) だから
σ² = (((Σ(x[i]²)) + (Σ(y[j]²)))/N - μ²
= (((σ₁² + μ₁²)N₁) + ((σ₂² + μ₂²)N₂))/N - μ²
ってことです。
No.3
- 回答日時:
#1です。
厳しい方から、ツッコミが入るといけないから、なぜ「個々の偏差平方和と平均偏差の2乗和を加えたもの」が全体の偏差平方和になるのか、証明をしておきます。
μ0を全平均、μ1を小集団の平均とします。
Σ(xーμ0)^2=Σ(x-μ1+μ1ーμ0)^2
=Σ(x-μ1)^2+2(μ1ーμ0)Σ(x-μ1)+Σ(μ1ーμ0)^2
ここで、Σ(x-μ1)=Σxーnμ1=nμ1ーnμ1=0 だから、
∴ Σ(xーμ0)^2=Σ(x-μ1)^2+Σ(μ1ーμ0)^2
No.2
- 回答日時:
コピペ時の修正漏れを訂正させて下さい。
スミマセン。誤)12個のデータの偏差平方和:(8-6)^2×12=4×12=48
↓
正)12個のデータの平均偏差の2乗和:(8-6)^2×12=4×12=48
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回答ありがとうございましたm(_ _)m
じっくり読ませていただきました。
追加で教えていただきたいことが出てきたので、答えて頂けると助かります。
『全体の偏差平方和』
=「8個のデータの偏差平方和」
+「12個のデータの偏差平方和」
+「8個のデータの平均と全体平均6の平均の差の2乗和」
+「12個のデータの平均と全体平均6の平均の差の2乗和」
となる理由を∑を使わないで教えていただくことは可能ですか?
もし可能でしたら∑なしで教えてください。