１辺の長さがaの正四面体ABCDに内接する球の 半径rを求めよ。また、この球の表面積と体積を求めよ。

１辺の長さがaの正四面体ABCDに内接する球の
半径rを求めよ。また、この球の表面積と体積を求めよ。
の解き方が分かりまそん。解説もいれてくださると助かります。お願いします。

質問者からの補足コメント

• 図は無いです

    補足日時：2019/02/28 23:35

No.6 回答者： ken_den 回答日時： 2019/03/01 19:25

内接する球は各側面と接するが、 対向する面がないのでB-C面を60°回転した図を描いた。

二等辺三角形の面積と３個の三角形の面積で、ｒを求める。

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/03/01 05:21

私も、図は無いです。

自分で図を書きながら読んでください。

内接球の中心を I、辺AB の中点を M、辺CD の中点を N、球と面ABC の接点を Gとします。
正三角形ABC で考えると、CM = (√3/2)a です。
G は △ABC の重心になりますから、MG:GC = 1:2 と判ります。
面MCD での断面を考えると、I はこの面内にあり、△MIG∽△MCN となっています。
以上より、r = IG = CN(MG/MN) = CN(MG/√(CM^2 - CN^2))
= (a/2){ (1/3)(√3/2)a }/√( { (√3/2)a }^2 - (a/2)^2 )
= a/(2√6) です。

半径 r から球の表面積 4πr^2 と体積 (4/3)πr^3 を求める計算は、
公式を暗記するか、積分を行ってください。(この積分は、高校範囲を超えます。)
あとは、上記の r を代入すればよいですね。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/03/01 01:06

「図は無いです」って, 自分で図にしてみようとはこれっぽっちも思わなかったのかなぁ....

・高さは 4r
・高さは辺の長さが a/√2 の立方体の (一番長い) 対角線の 2/3
であることはすぐにわかるよね.

No.3 回答者： ひさっぴぃ 回答日時： 2019/03/01 00:17

にんにちは。

頑張って解いてみようとしましたが、
頭が働かなかったのでネット検索してみました。

キーワード「正四面体ABCDに内接する球」
ＰＤＦにてあっさり・・
http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-n …

でもＰＤＦファイルだとみれないかもなので
https://rikeilabo.com/regular-tetrahedron

ＹｏｕＴｕｂｅでも流れているようです。

https://www.youtube.com/watch?v=O3nEMU6PEO0
https://www.youtube.com/watch?v=_apeEN1hJmE

お気に召すのがなければまたご連絡を。

No.2 回答者： vanityface 回答日時： 2019/03/01 00:12

1辺の長さがaの正四面体ABCDに内接する球なので球の直径はaになります。

よって半径はa/2となると思います。

S=4πr²より
表面積はa²π となると思います。

V=4πr³/3より
3a³/2 となるのではないでしょうか。

合ってるかはわからないです

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/02/28 23:34

図示してください.