互いに独立な時の確率密度関数

大学で出された問題でさっぱり分からなかったので、お力添えください。
（問題）
正規分布に従う確率変数ＸとＹは、ともに分散は１であるが、Ｘの平均値は－１、Ｙの平均値は１である。
互いに独立であるＸ、Ｙから作られる確率変数ＺをＺ≡Ｘ/√２＋√２Ｙで定義するとき、Ｚの確率密度関数ｐｚ(ｚ)を求め、その概形をグラフに描け。

簡単だとは思いますが、よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： incd 回答日時： 2009/06/17 12:54

(1) 正規分布の線形結合はやはり正規分布に従う、という性質からZもまた正規分布に従う。

(2) 正規分布の形状は平均及び分散のみで定まる。

という２つのことを覚えておけば、問題はZの平均及び分散を求めて確率密度関数の公式に当てはめることに帰着します。

平均：E(Z) = E(X)/√2 + √2 E(Y) = -1/√2 + √2 = √2 / 2
分散: E(Z^2) = E(X^2)/2 + 2 E(Y^2) = 1/2 + 2 = 3/2
独立なのでE(XY)の項はゼロで消えます。
　
グラフは正規分布ですのでとりあえず平均が山の頂点になってさえいればOKでしょう。

この回答へのお礼

わざわざありがとうございます。
統計論が初心者で授業で一切やっていないところが課題として出されてしまってちんぷんかんぷんでした。
また、つまずいたらお願いいたします。

お礼日時：2009/06/30 00:06

No.3 回答者： incd 回答日時： 2009/06/18 00:52

＞＞XとYが独立だからE(XY)=0

＞＞は乱暴のように思う。

その通りです。間違えました。すみません。
「XとYが独立だからE(XY)=0」ではなく「XとYが独立だからCov(XY)=0」ですね。

分散を計算する手順も少し荒かったですね。

この回答へのお礼

訂正までしていただいてありがとうございます。
またつまづいたらお願いします。

お礼日時：2009/06/30 00:08

No.2 回答者： reiman 回答日時： 2009/06/17 16:37

No1について

XとYが独立だからE(XY)=0
は乱暴のように思う。
Xの密度関数をpとしYの密度関数をqとすると
XとYが独立ということはX,Yの同時密度関数rがr(x,y)=p(x)q(y)となることを意味する。
つまりr(x,y)がx,yについて変数分離するということだ。

E(XY)=∬xyr(x,y)dxdy=∬xyp(x)q(y)dxdy=∫xp(x)dx∫yp(y)dy=E(X)E(Y)=-1

この回答へのお礼

わざわざありがとうございます。まだちんぷんかんぷんですが、すこしずつ理解していこうと思っています。
また、つまづいたらお願いします。

お礼日時：2009/06/30 00:07