分散…

分散の数式を解きたいのですが…
ある確率変数Xの期待値α＝E(X)＝∫-∞～∞xp(x)dxとします。p(x)は確率密度関数です。
Xの関数f(X)の期待値はE〔f(X)〕＝∫-∞～∞f(x)p(x)dxであります。
Xの分散Var(X)はf(x)をf(x)＝(x-α)＾2としたものの期待値なので
Var(X)＝E(X-α)＾2　を解くと，E(X＾2)-α＾2になります。
では，Var(aX+b)だとどう計算すればいいのでしょうか？a,bは定数です。E(aX+b-α)＾2でいいのでしょうか？
答えはa＾2Var(X)となっています。
また確率変数がX1，X2の2つで，各期待値がα，βとする時，Var(X1＋X2)
はどうでしょうか？E(X1-α)＾2＋E(X2-β)＾2でしょうか？
答えは，Var(X1)＋Var(X2)＋2E〔(X1-α)(X2-β)〕となっています。
はじめの式で，合っているのか違っているのかわからない状態です…
よろしくお願いします。

No.2 回答者： kumipapa 回答日時： 2007/11/15 11:58

まずは分散の定義をきちんと把握しましょう。

確率変数Xの期待値を E[X] としたとき、分散Var[X] の一般的な定義は
Var[X] = E[(X - E(X))^2]
です。また右辺を展開して、
Var[X]= E[X^2 - 2 E[X] X + (E[X])^2]
　　　= E[X^2] - (E[X])^2
という関係式も教科書には必ず載っているでしょう。

Y = aX + b　( a, b は定数) としたときのYの分散は、上の定義に従って
Var[Y] = E[(Y - E[Y])^2]
ですから、まず Y = aX + b 　（a, b は定数）の期待値 E[Y] を計算してから分散を計算しましょう。
E[X] = α とすると Var[X] = E[(X - E[X])^2] = E[(X - α)^2] です。

E[Y] = E[ aX + b] = aE[X] + b = aα + b

Var[Y]　= E[(Y - E[Y])^2]
　　　　= E[(aX + b - aα - b)^2]
　　　　= (a^2) E[(X - α)^2 ]
　　　　= (a^2) Var[X]
となります。

次に Y = X1 + X2 の分散を求めてみます。E[X1] = α, E[X2] = β とすると、Var[X1] = E[(X1 - α)^2], Var[X2] = E[(X2 - β)^2] です。
E[Y] = E[X1 + X2] = E[X1] + E[X2] = α + β
Var[Y] = E[(Y - E[Y])^2]
　　　= E[(X1+ X2 - E[X1 + X2])^2 ]
　　　= E[ {(X1 - α) + (X2 - β)}^2 ]
　　　= E[ (X1 - α)^2 + 2(X1 - α)(X2 - β) + (X2 - β)^2 ]
　　　= E[(X1 - α)^2 ] + 2 E[(X1 - α)(X2 - β)] + E[(X2 - β)^2 ]
　　　= Var[X1] + Var[X2] + 2E[(X1 - α)(X2 - β)]

です。

この回答へのお礼

ありがとうございます，解けました！

お礼日時：2007/11/19 08:09

No.1 ベストアンサー 回答者： pocopeco 回答日時： 2007/11/15 00:37

まず分散の式を詳しく書くと

yの期待値y1　
Var(y)=E((y-y1)^2)=E(y^2-2y1y+a^2)=E(y^2)-E(2ay1)+E(a^2)
=E(y^2)-2aE(y1)+a^2=E(y^2)-2a*a+a^2=E(y^2)-a^2

Var(aX+b)を考えるとき、引く数は、aX+bの期待値cです。
aX+bの期待値でなく、Xの期待値を引いているのが間違いです。
E(aX+b-α)＾2ではなく、E(aX+b-c)＾2　
計算すると、a^2(E(x^2)-α＾2)=a＾2Var(X)になります。

Var(X1＋X2)
単純に分散を足してはいけません。
個々の分散ではなく、和の分散を考えるのです。
だから、
Var(y)=E((y-a)^2)
の式を使います。
y=X1+X2, a=E(X1+X2)

この回答へのお礼

ありがとうございます，解けました！

お礼日時：2007/11/19 08:09