統計学についてです 確率変数xの平均がμのとき E((x−a)の二乗)＝var(x)＋(μ−a)の二

統計学についてです
確率変数xの平均がμのとき
E((x−a)の二乗)＝var(x)＋(μ−a)の二乗
になる意味を教えてください。途中式あると嬉しいです

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/08 01:08

意味って、ふつうに計算すればそうなるでしょう？

x - a = (x - μ) + (μ - a)
ですから
　(x - a)^2 = (x - μ)^2 + 2(x - μ)(μ - a) + (μ - a)^2
　　　　　　= (x - μ)^2 + 2(μx - ax - μ^2 + μa) + (μ - a)^2

期待値の加法性 E[x + y] = E[x] + E[y] より
　E[(x - a)^2] = E[(x - μ)^2] + 2E[μx] - 2E[ax] - 2E[μ^2] + 2E[μa] + E[(μ - a)^2]　　　①

ここで、分散の定義より
　Var[x] = E[(x - μ)^2]
また、それぞれ
　2E[μx] = 2μE[x] = 2μ^2　　　←x の期待値（平均値）は μ
　2E[ax] = 2aE[x] = 2aμ　　　←x の期待値（平均値）は μ
　2E[μ^2] = 2μ^2　　　　　　←定数 μ^2 の期待値（平均値）は μ^2
　2E[μa] = 2μa　　　　　　　←定数 μa の期待値（平均値）は μa
　E[(μ - a)^2] = (μ - a)^2　　←定数 (μ - a)^2 の期待値（平均値）は (μ - a)^2
なので、これらを①に代入すれば

　E[(x - a)^2] = Var[x] + 2μ^2 - 2aμ - 2μ^2 + 2μa + (μ - a)^2
　　　　　　　= Var[x] + (μ - a)^2

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2018/07/08 08:44