n+1点を通るn次関数のグラフは一意に決まる？

はじめまして。
２点を通る直線は１本だけですよね、また３点を通る二次関数も一意に決まりますよね。
これはつまり、nをn≧1の整数とするとき、(n+1)点を通るn次関数のグラフは一意に決まると言えますか？

また、その証明も併せて教えていただけると助かります。

No.2 ベストアンサー 回答者： -ok 回答日時： 2011/02/11 05:53

x の n 次関数 y を

y = a[n] x^n + a[n-1] x^(n-1) + ・・・ + a[1] x^1 + a[0]
と書きましょう。係数 a[i] は全部で n+1 個あり、これらが決まればy が決まります。いま、n+1 個の点の座標 (x,y) が与えられるとすると、それらを上の式に代入することにより、n+1 個の式が得られます。それらの式を係数 a[i] に関する連立方程式として解くことができれば、係数が決まります。

ただし、例えば、与えられた n+1 個の点が一直線上に並んでいると、n≧2 であっても一次関数しか決まらないように、求められる関数の次数は n より低くなることがあります。

また、例えば (0,0) と (0,1) を通る直線の式は y = a[1] x + a[0] の形では求められないように、解が求められないこともあります。その場合には、座標軸を回転するなどの工夫をして考え直す必要があります。

No.3 回答者： usokoku 回答日時： 2011/02/11 07:05

既にある内容は略して

「直線」をどのような定義にするか、で
＞一意に決まりますよね。
とは言い切れません。
たとえば、平面を球体面と定義した場合(非ユークリッド幾何)は、
２点(たとえば、南極と北極)を通る直線は、無数に描けます。

No.1 回答者： edomin7777 回答日時： 2011/02/11 05:52

n次関数の一般的な形を考えます。

例えば6次関数は
ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx^1+gx^0
になります。
このときの係数の数は、「n+1個」(n乗から0乗まで）になりますから、点のx座標を代入していって出来た係数だけの式が「n+1個」になれば連立方程式で解くことが出来ます。

係数が決まれば式も決まります。