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18の18乗の最高位の桁と末尾の数字の求め方を教えてください。お願いします。

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A 回答 (7件)

tsujisatoshiさん、こんばんは。


指数、対数ということなので、桁数は

10^n≦18^18<10^(n+1)

とおくと、これは(n+1)桁の整数ということができます。
両辺、常用対数(底が10の対数)をとると

nlog[10]10≦18log[10]18<(n+1)log[10]10

n≦18log[10](2*3^2)<n+1
n≦18{log2+2log3)<n+1

となるので、log2とlog3の近似値が分かっていれば
それを代入するといいですよ。

>末尾の数字の求め方

18^2=324なので、2乗すると、下1桁は4です。
18^4=(18^2)^2なので
18^4の下1桁は4^2=16なので6です。
18^8の下1桁は(18^4)^2なので6^2=36なので、これまた6です。
18^16の下1桁もまた、6だと分かります。

18^18=18^16*18^2なので
下1桁は、(18^16の下1桁)×(18^2の下1桁)=6×4=24
となるので、下1桁は4だと分かります。

この回答への補足

最高位の桁「の数」の誤りでした。
ご解答ありがとうございました。

補足日時:2003/09/14 09:26
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こん**は



Windowsに付属の電卓で[表示]→[関数電卓]を選択します。
次に18と入力して、[x^y]ボタンを押して、18と入力して[=]を押せば、
39346408075296537575424
と出ますね。
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この回答へのお礼

ご解答ありがとうございました。

お礼日時:2003/09/14 14:12

最高位の数についてです。


まず、18^18=10^22.5936です。ここで、10^22は0の数、つまり桁数を決めるわけなので、22.5936の小数部分の0.5936だけで、10^0.5936を考えます。
 →10^22.5936=10^(22+0.5936)と考えます。
ここで、(下の底は全て10です。)
log3=0.4771
log4=0.6020
なので、
10^0.4771=3
10^0.6020=4
です。だから、
10^0.4771<10^0.5936<10^0.6020
  3 <10^0.5936<  4
となります。
よって、10^0.5936=3.??????なので、
最高位の数は3です。
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この回答へのお礼

ご解答ありがとうございました。

お礼日時:2003/09/14 14:13

対数の底をすべて10とします


log3≒0.4771とlog2≒0.3010は多分与えられると思います。

18=2・3^2 (3^2で3の二乗)
18^18=(2・3^2)^18=2^18・3^36
対数をとって
log18^18=log(2^18・3^36)=18log2+36log3
これを計算して
22<22.5936<23
log10^22<log18^18<log10^23
だから23桁(一番右の指数部分が桁数)


2^n(n=1,2,3・・・)の一の位は(2、4、8、6)(2、4、8、6)・・・
と続きます。n=18のとき一の位は4です。
3^k(k=1,2,3・・・)の1の位は(3、9、7、1)(3、9、7、1)・・・
と続きます。k=36のとき一の位は1です。

よって答えは4×1=4ですね。

この回答への補足

最高位の桁「の数」の誤りでした。
ご解答ありがとうございました。

補足日時:2003/09/14 09:26
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18^18=10^aと置いて、対数とればよいです。


18log18=18(log3^2*2)=18(2log3+log2)=a
log3=0.477 log2=0.301として計算すると、a=22.59
桁数はaの整数部+1となりますので、23桁

末尾の数字については規則性を求めます。
2乗の末尾は4,3乗の末尾は2,4乗の末尾は6,5乗の末尾は8となり、これ以降は繰り返しになりますので、17乗の末尾が8ですので、18乗の末尾は4となります。

#1は19回掛けていませんか?
18*で1回掛けたことになります。
1回クリックしますと2乗となりませんか?

この回答への補足

最高位の桁「の数」の誤りでした。
ご解答ありがとうございました。

補足日時:2003/09/14 09:27
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先ほどのものです。

クリックの回数は17回の間違いです。

この回答への補足

最高位の桁「の数」の誤りでした。
ご解答ありがとうございました。

補足日時:2003/09/14 09:27
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パソコンの電卓では


708235345355337676357632
とでました。
電卓に18*と入力して=を18回クリックしました。
論理的な計算方法はわかりませんが、一応答えとして書き込ませていただきました。
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問題で、自然数N=7^777について、log2=0.3010, log5=0.6990, log7=0.8451を利用して、次の問に答えよ。というもので、
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おそらくlog2やlog5の値を利用して、log7を作って解くのだろうと思いますが分かりません。
どなたかアドバイスお願いします。

Aベストアンサー

指数対数の応用ですね。桁数の計算は教科書にあってわかりのですが
質問にある、最高位の数・1の位の数は参考書を見ないと解りにくいと思います。

7^777でやって見ましょう
最高位の数は桁数を求めるのとよく似ていますが

log7^777=777log7=777*0.8451=656.6427
より7^777=10^(656.6427)=10^(0.6427)*10^656
桁数は10^656を使って出しますが、最高位の数は10^(0.6427)の方から出します
ここから10^(0.6427)の近似を計算します。ここがポイントです。

10^0<10^(0.6427)<10^ですから10^(0.6247)の整数部分は1桁の整数です。
つまり10^(0.6427)=*.*****という形の数です
これが最高位の整数を表します。
ここからは0.6427に近い対数を探します。
log5=0.6990ですからlog4=0.6020
0.6420<0.6427<0.6990からlog4<0.6427<0.6990
つまり4<10^(0.6427)<5
10^0.6427=4.??????という数ですから
7^777=(4.?????)*10^656という整数です
よって、最高位の数は4です
>2のNの先頭の数字は何か?
という問題も同じで、常用対数をとってその値の小数部分に注目して近似を求めるのです

一方、1の位の数は「1の位の数は1の位の数どうしの掛け算」から計算するので7^4=24017の4乗の1の位の数は1になる事を利用します
777=4*194+1ですから7^777=7^(4*194)*7
1の位の数は7です

>3のNの末尾の数字は何か?
これも7と同じで3^4=81から4乗すると1の位が1になる事を利用します

指数対数の応用ですね。桁数の計算は教科書にあってわかりのですが
質問にある、最高位の数・1の位の数は参考書を見ないと解りにくいと思います。

7^777でやって見ましょう
最高位の数は桁数を求めるのとよく似ていますが

log7^777=777log7=777*0.8451=656.6427
より7^777=10^(656.6427)=10^(0.6427)*10^656
桁数は10^656を使って出しますが、最高位の数は10^(0.6427)の方から出します
ここから10^(0.6427)の近似を計算します。ここがポイントです。

10^0<10^(0.6427)<10^ですから10^(0.6247...続きを読む