弓を想像して、その弓の半径を出す計算式を教えて下さい。

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質問者：biwamaru
質問日時：2003/09/20 16:13
回答数：5件

まず弓を引かずに、空に向けて矢を射る形を想像して頂くといいのですが、
　　　　
仮に弓の部分の長さ（弧Ｌ）を２メートル，弓の糸（弦）の長さ（Ｇ）として、円の中心（Ｏ）を通る垂直線を引き、得られる弓の糸（弦）の交点（Ｂ）から弧と垂直線の交点（Ａ）までの長さ（Ｍ）を０．３メートルだとした時の半径が知りたいのですが、この問題で２２年間悩んでいます（＾＾；）。

分かっている数値
　弧の長さ（Ｌ）　　　　　　２メートル
　弧の頂点までの長さ（Ｍ）　０．３メートル
　弦の長さ（Ｇ）　　　　　　？？
　半径（Ｒ）　　　　　　　　？？
　円の中心（Ｏ）　　　　　　Ｘ＝０，Ｙ＝０

どなたか教えていただけないでしょうか？

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回答 (5件)

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No.5

回答者： iro_han
回答日時：2003/09/21 21:03

複雑な方程式は不要です。

GとMが必要なので、Gの測定をしてください。
弓の半径R=G^2/2Mです。
たとえばExcelで、A1にGを、A2にMをそれぞれ入力し、R（結果）をA3に出したいときの式は
=(A1^2)/(2*A2)
になります。

この式は、FIS（国際スキー連盟）が、競技用スキーのレギュレーション確認する際、スキーのサイドカーブラディウスを計算する為に使用する式の応用なので、間違いないと思います。
ただし、スキーのサイドカーブと同様に、弓が描く弧は、正円の一部とはいえないと思いますので、「概ねこの程度」と言ったレベルです。

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No.4

回答者： liar_adan
回答日時：2003/09/20 17:59

円弧の半径を出すだけならGはいりません。

弓の、半分だけを使います。その方が簡単なので。
弓の長さの半分はL/2。
すると、中心角θは、ラジアンの単位でL/2Rと出ます。
(弓の半分の角度です。弓全体の角度ではその2倍になります)

中心から弦への距離は、R・cosθとなります。
三角関数を説明する図形を思い浮かべてもらえればいいと思います。
弦の中点から弓への距離がMなので、
M ＝ R - R・cosθ
＝ R（1 - cosθ）
となります。
ぜんぶ展開すると

M ＝ R（1 - cos(L/2R)）

問題の数値をあてはめると、

0.3 ＝ R（1 - cos(1.0/R)）

となります。この方程式を解けば半径Rが出ます。

出るんですけども、これは、初等的に解くのはちょっと無理じゃないかと思います。
(すっきりした数値は出ないという意味です。)
数値計算ソフトを使えば、任意精度で出せますが…。

十中八九、すっきりした答えは出ないとおもいますが、
絶対の自信はないので、解析に詳しい人の回答を待ちます。

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No.3

回答者： fuji2002
回答日時：2003/09/20 17:42

円の半径をｒ、弧の中心角をθとします。

弧の長さを半径と中心角で表す
２πｒ×（θ／３６０）＝２　・・・（１）

円の中心、弧の末端、垂直二等分線と弦の交点の３点を頂点とする直角三角形について
cos（θ／２）＝（ｒ－０．３）／ｒ　・・・（２）

（１）をｒについての式に変形すると
ｒ＝３６０／πθ　・・・（３）

（３）を（２）に代入して整理すると
cos（θ／２）＝（３６０－０．３πθ）／３６０　・・・（４）

おそらく計算で出せるのはここまでです。
以下はExcelを使って出した結果ですが、

θ＝７１°（誤差±０．００５°未満）
ｒ＝1.61396562

となりました。弦の長さは

Ｇ^2＝ｒ^2－（ｒ－０．３）^2

ですから、

Ｇ＝0.937218956

となります。
ひょっとしたら、計算で答えを導き出す方法があるかもしれませんが、私には分かりませんでした（高校で数学を教えてる知人に確認したので、多分間違いないと思いますが）