lim[x->0](x^2+x)/x=0/0となり存在しないが、約分すると
lim[x->0](x^2+x)/x=lim[x->0](x+1)=1となり存在する。

ばかげた質問になるかと思うのですが、約分という計算をそもそもしてよいのかという
疑問です。

A 回答 (10件)

lim[x→a]f(x) を計算するときに


x=a を代入しても良いのは、
f(x) が x=a で連続な場合だけ。
「連続」という言葉の定義を確認しておこう。

lim[x→a] f(x)/g(x) を計算する場合、
g(a)=0 であれば、f(x)/g(x) が x=a で連続か
どうかは、見ただけでは判らない。
代入に先立って、連続性を確かめる必要があり、
そのための操作が、f(x), g(x) を x-a で約分
することとなる。
(a=0 なら x で約分)
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます
「x=a を代入しても良いのは、
f(x) が x=a で連続な場合だけ。」
説得力があり、納得です。
 lim[x→0] (x^2+x)/x の問題の場合、
(x^2+x)/x の分母が0に近づき、連続、不連続に疑問があるから
約分という計算をするというながれになるのだと、理解しました。
 何故約分をする必要があるのかが、分かるような気がします。
連続というのがポイントだったと。

お礼日時:2011/04/12 12:41

極限を計算するときに「代入する」というのは, 本当は「手抜き」だ. 「手を抜いていい」ことがわかっている場面ならいいが, 「手を抜

いていいかどうかわからない」とか「なぜ手を抜いていいのかがわからない」なら, そんなことをするべきではない.
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こんばんわ。



確かに実際の計算は「代入」になるので、混乱してきますよね。
でも、#5さんの書かれているとおりで、
>厳密に言えば, 「x=0 を代入してはいけない」のです.

いまの問題でいえば、
・「x^2+xと xの比」について
・「x→ 0」としたときの極限を考えている

ということになります。
比の値ですから、分母となる xに 0を代入することは許されません。


で、結果の「1」というのは、分子と分母が「ほぼ等しくなる」ということを意味しています。
もう少し言い換えると、分子と分母を分けて考えたときに
・分子は xが 0に近付くと x^2 << x(x^2は xに比べて非常に小さくなる)となるから、(分子)≒ xとなる。
・分母は xしか項がないので、(分母)= x

これらの「比」を考えれば、1に近づくということがわかるということになります。



先日あった質問で、「強い項」「弱い項」という表現がありました。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6595288.html

いまの問題では、分母と分子は「同じ強さをもった項」という言い方ができます。
なので、有限確定値をとることになります。
もう少し数学的な表現にすると、「xの何次の項として表されるか」で比較することになります。
この感覚がわかるようになると極限は考えやすくなるのですが、やはり慣れが必要で難しいです。^^;
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←A No.5 「お礼」の件について



その「何故」を A No.4 に書きました。
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#1です。



>普通は、分数式で、約分する前の式の文字に代入した値と約分した式に代入した式の値は
>同じになりますが、この極限値の場合は、異なる結果になってしまう。
>どちらの結果をとるかになるが、どうして不定とならない

極限値をとる場合は
x→0と書きますがx=0とおいたとき式が確定するなら、x→0の代わりにx=0とおいても値が極限値と一致するのでいいですが
0/0型となる場合はx→0とする場合には本来の極限の定義にもどりx=0とおいてはいけません。x≠0として0/0型にならない処理(0/0型の原因となる因数を分子・分母から無くす式の変形)をした後、0/0型で無くなった式でx→0(つまりx=0とした値に一致)として極限を求めます。
極限を求める場合、あくまでx→0はx≠0として扱う。x→0の極限値とx=0の代入値が一致する場合に限って、x→0をx=0で代用していいということです。

[重要なポイント] 
最初からx→0の代わりにx=0を代入してはいけない。あくまでx=0とおいたときに不定形(0/0型、∞-∞型、∞/∞型、0x∞型など)にならない場合に限り、極限値はx=0としたときの値に一致する。この場合に該当する場合は本来の定義に基づきx≠0として扱い、極限値を求める必要がある。

>lim[x->0](x^2+x)/x=0/0となり存在しないが、
この場合はx=0とおいていけない場合なので代入して導いた「存在しない」という結論付けは間違いです。

>約分するとlim[x->0](x^2+x)/x=lim[x->0](x+1)=1となり存在する。

約分は、分子・分母のゼロでない共通因子を0でないxで約分してることになります(∵x≠0)。
なのでこの約分処理は正しい操作です。
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#1 にもちょこっと書かれてますが, そもそも


「lim[x->0](x^2+x)/x=0/0となり存在しないが」
がおかしいのです. 「x を 0 に近づけた極限」を考えるときには, あくまで
x≠0
です. 厳密に言えば, 「x=0 を代入してはいけない」のです.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます
厳密に言えば, 「x=0 を代入してはいけない」のです.
厳密でなく、実際の計算では、代入することになるが、
そのとき、0/0をどうみればいいのか・・・
代入して、0/5だったら、0。
代入して、6/0だったら、∞。
代入して、0/0だったら、何故、約分したあとに代入することになるのか
・・・。

お礼日時:2011/04/11 16:52

追記:


lim[x→a]f(x) と lim[x→a]g(x) が共に収束して
しかも lim[x→a]g(x)≠0 であれば、
lim[x→a]f(x)/g(x) も収束して、その値は
( lim[x→a]f(x) )/( lim[x→a]g(x) ) に等しい。

計算上よく使われる定理だが、注意すべきは、
この定理が lim[x→a]g(x)=0 の場合について
何も言っていないこと。
極限が存在しないとか、収束しないとか言ってない。
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>lim[x->0](x^2+x)/x=0/0となり存在しないが、約分すると



 これは微分の定義ですね

質問者はx=0とx→0 を、混同しているみたいですね

>lim[x->0](x^2+x)/x=lim[x->0](x+1)=1となり存在する。

実際はlim[x->0](x^2+x)/x=lim[x->0](x+1)=→1ですね

  =1だとx=0となり、(x^2+x)/x の式さえ成り立たないことになります。
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x で約分してから lim をとるのは正解だが、


lim をとってもから 0 で約分するのは間違い。
0 で割り算はできないから、0 で約分はできない。
0/0 は、極限が存在しないのではなく、
その計算手順では値を知ることができないだけ。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます
「0/0 は、極限が存在しないのではなく、
その計算手順では値を知ることができないだけ。」
もやもやがすっきりしました

お礼日時:2011/04/11 14:58

>約分という計算をそもそもしてよいのかという


疑問です。

約分していいですよ。
「lim[x->0]」 の意味は
x≠0でxを限りなくゼロに近づけた時の「(x^2+x)/x」の値
ということですから、x≠0なので約分できます。

[重要]極限をとることの意味を教科書で復習し確認しておいて下さい。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます
質問が整理されていなくて、何を答えればよいのか
疑問に思ったかもしれません。

普通は、分数式で、約分する前の式の文字に代入した値と約分した式に代入した式の値は
同じになりますが、この極限値の場合は、異なる結果になってしまう。
どちらの結果をとるかになるが、どうして不定とならないのか

お礼日時:2011/04/11 13:58

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ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

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 a(n+1)/a(n) < 1

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また、a(n) > 0 なので、lim_{n→∞} a(n) ≧ 0 となります。

もし、a(n) の収束値bが、正の有限値なら、n→∞で、
 a(2n)/a(n) → b/b = 1
になるはずですが、
 a(2n)/a(n) = [(2n)^2/3^{2n}]/[n^2/3^n] = 4/3^n → 0
になるので、収束値bは正の有限値にはなりません。

従って、
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が得られます。

[(4)の別証]
(3)式 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 より、
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 0 < a(n) = [a(n)/a(n-1)]・[a(n-1)/a(n-2)] ・…・ [a(12)/a(11)]・a(11)
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故に
 lim_{n→∞} a(n) = 0
が得られる。
(別証終わり)


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と変形するのが良いでしょう。(2/3)^n → 0 なので、
 [1+(2/3)^n]^{1/n} → 1 … (6)
なので、
 (5) = 3
になります。


なお、(6)が明らかと思われない場合は、
 1 = 1^{1/n} < [1+(2/3)^n]^{1/n} < 1+(2/3)^n → 1
(∵ a > 1 に対して、a^{1/n} = (a^{1/n})^n = a )
より、[1+(2/3)^n]^{1/n} → 1
と証明します。

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

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