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慣性モーメントはなんとなく分かるのですが、慣性テンソルの使い方が良く分かりません。
というのも、慣性モーメントは質量×(軸からの距離)^2で定量になることが分かるのですが、
テンソルは常に時間と共に変わってしまうのでないでしょうか?
例えばある粒子がX軸にあり、Z軸について回転する時、
Ixx=質量X(X軸からの距離)^2でIyy=0、Izz=0になりますが
時間が経ち、その粒子がY軸に着たとき
Ixx=0、Iyy=質量X(Y軸からの距離)^2、Izz=0になって
最初のテンソルと違います。
つまり一瞬一瞬テンソルは違う値になるということで合っているでしょうか?

私は慣性モーメントを回転のしにくさ、つまり回転運動における質量だと解釈していたんですが、
慣性モーメントテンソルの場合、一瞬一瞬回転のしずらさが変わるというのはおかしくないですか?
もうわけがわかりません。どなたか解説お願いします!

A 回答 (2件)

空間座標系で運動を記述した場合、慣性テンソルは時間の関数でおかしくないですよ。


固定された空間座標軸と物体の方位との相対関係がかわるんですから当然です。
回転軸が時間とともに変化するような場合は、慣性テンソルのみならず慣性モーメントも時間の関数です。

>一瞬一瞬回転のしずらさが変わるというのはおかしくないですか?

という疑問は、空間に固定された回転軸(たとえば空間座標軸)まわりの回転と、物体に固定された回転軸まわりのモーメントを混同しているところ生じているのではないでしょうか。

慣性モーメントを時間によらない定数にしようと思ったら剛体とともに運動する剛体座標系で運動を記述してやる必要があります。その代表が主軸座標系で、主軸座標系での剛体の運動方程式をオイラーの運動方程式といいます。オイラーの運動方程式では慣性モーメントは定数です。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4% …
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>私は慣性モーメントを回転のしにくさ、つまり回転運動における質量だと解釈していたんですが、


これで正しい理解だと思いますよ。

慣性テンソルは時間の関数ではありません。形状の座標系からの分布で決定されます。逆に言えば、座標系がい違えば慣性テンソルは異なります。応力テンソルと同じで、面に対してどの方向に作用するかで別物になります。しかしどの慣性テンソルでも固有値を求めれば、対角行列のみの同じ慣性主軸の方向が求まります。これはその方向に座標系を設定すれば、対角行列以外は0となる主座標系です。

下記HPを見れば分かりますが、どこにも時間は変数として含まれていません。

参考URL:http://homepage2.nifty.com/eman/dynamics/mom_ten …
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Q慣性テンソル

慣性テンソルや慣性乗積、慣性主軸について言葉で物理的に説明してくれませんか?行列の表示の仕方や、慣性テンソルの求め方は分かるのですが、物理的な意味がいまいち分かりません。どなたか教えて下さい!!

Aベストアンサー

>言葉で物理的に説明して<

テンソルを数行や数十行の文章で分からせる事ができるのならとっくに教科書がそう書いています。 「行列表示や求め方はできる」のなら初戦突破してるのでさらに場数を踏んで貴方の中で概念を築き上げましょう。
なお、
慣性乗積は、
例えば速度ベクトルVを適当な直交座標に射影した場合、座標軸の一本をVと一致させれば、他の軸への影は無いですよね、
性乗積はこの「他の座標への影」のようなもので、主軸をピタリと捉えればオールゼロで埋まる成分です。

Q慣性モーメントの単位

慣性モーメント単位が kgf・m^2 と表されているのですが、なぜ kgf なのでしょうか?
また、単位変換して kg・m^2 にするにはどうすればよいのでしょうか?
どなたか、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

SI単位系では、慣性モーメントの単位はkg・m^2です。
ですが、重量単位系:力をW(kgf)として、力の単位にN(ニュートン)を用いないで慣性モーメントを定義する場合にkgfが現れます。それでも、慣性モーメントの単位はkgf・m・s^2です。ではkgf・m^2とは何なのかというと、GD2(ジーディースクエア)といって、正式には慣性モーメントではないが慣性モーメントの前段階のような値、ということです。例えば、円柱の上下方向の慣性モーメントはSI単位系では1/2MR^2(M:質量、R:半径、単位はkg・m^2)ですけど
これをGD2で表すと、1/2WD^2(W:重量、D:直径,単位はkgf・m^2)となります。重量は質量と値は等しいですが"質量"ではなく力です。つまり、質量に重力加速度がかかっています。ですから、慣性モーメントにするにはgで割る必要があります。また、直径の2乗で定義されてるから、半径の2乗に直すためさらに4で割ります。
それで、単位がkgf・m^2
からkgf・m・s^2となるわけです。ですが、相変わらず
kgfが入っているのでこれをSI単位に変換するには、
重量M=質量W(ただし値のみ。単位は異なる)であること
を利用し、1/2WD^2[kgf・m^2]をW→M、D→Rとし、4で割って、改めて単位をkg・m^2と置けばいいのです。他の慣性モーメントについても、全ての項がWD^2となっているから、同様に4で割り単位をkgf・m^2→kg・m^2とするだけです

参考URL:http://www.keiryou-keisoku.co.jp/databank/kokusai/torukusi/torukusi.htm

SI単位系では、慣性モーメントの単位はkg・m^2です。
ですが、重量単位系:力をW(kgf)として、力の単位にN(ニュートン)を用いないで慣性モーメントを定義する場合にkgfが現れます。それでも、慣性モーメントの単位はkgf・m・s^2です。ではkgf・m^2とは何なのかというと、GD2(ジーディースクエア)といって、正式には慣性モーメントではないが慣性モーメントの前段階のような値、ということです。例えば、円柱の上下方向の慣性モーメントはSI単位系では1/2MR^2(M:質量、R:半径、単位はkg・m^2)ですけど
これをGD2...続きを読む

Q「ノルム、絶対値、長さ」の違いについて

あじぽんと申します。よろしくお願いします。

ベクトルや複素数などに出てくる「ノルムと絶対値と長さ」というのは同じことを違う言葉で表現しているのでしょうか?
手元にある書籍などには全てが同じ式で求められています。
同じ式で表現されていても意味は少しづつ違っていたりするのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか?」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
(例:(3,1,5)というベクトルの最大値ノルムは、3つの数字の最大値である5になります)

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
(ちょっと難しいかな?)


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して...続きを読む

Q慣性行列(テンソル)について

長さh、半径r、密度p、の円柱の質量中心まわりの慣性テンソルを求めよ。ただし、長手方向をz軸とする.

という問題なので、図を描いてやっているのですが、どこから手をつけていいのかも分からない状態です。図を描いてやっているのです。

Aベストアンサー

ヒントを。。。
力学のテキストをよくご覧になられると慣性テンソルは
I11=∫(y^2+z^2)dm,I12=-∫xydm,I13=-∫zxdm
I21=-∫xydm,I22=∫(z^2+x^2)dm,I23=-∫yzdm
I31=-∫zxdm,I32=-∫yzdm,I33=∫(x^2+y^2)dm
(ただしdm=ρdxdydz)と書かれていますね。ここで剛体に固定した新しい座標軸(慣性主軸)をうまく選んでやると非対角成分を0にすることができ(←主軸変換),この結果慣性テンソルは次のように簡単化されます。
A=I'11=Ix=∫(y'^2+z'2)dm,B=I'22=Iy=∫(z'^2+x'2)dm,C=I'33=Iz=∫(x'^2+y'2)dm
ここでA,B,Cは主慣性モーメントと呼ばれます。
具体的なケースを見ましょう。
○板状の物体の場合:板面に直角にz軸をとり,板面内(z=0)に直角にx,y軸をとると,このx,y,z軸は慣性主軸となります。慣性モーメントは
Ix=∫y^2dm,Iy=∫x^2dm,Iz=∫(x^2+y^2)dm=Ix+Iy
○回転対称軸を持つ場合:回転対称軸をz軸にとり,それに直角にx,y軸をとるとx,y,z軸は慣性主軸となり,この場合Ix=Iy=∫(y^2+z^2)dm=∫(x^2+y^2)dmとなります。
ご質問のケースは回転対称軸をもつ場合にあたります。慣性モーメントを求める具体的な計算は力学のテキストを参照されるか,参考URLの力学のページを参照されればよいでしょう。

参考URL:http://www14.plala.or.jp/phys/

ヒントを。。。
力学のテキストをよくご覧になられると慣性テンソルは
I11=∫(y^2+z^2)dm,I12=-∫xydm,I13=-∫zxdm
I21=-∫xydm,I22=∫(z^2+x^2)dm,I23=-∫yzdm
I31=-∫zxdm,I32=-∫yzdm,I33=∫(x^2+y^2)dm
(ただしdm=ρdxdydz)と書かれていますね。ここで剛体に固定した新しい座標軸(慣性主軸)をうまく選んでやると非対角成分を0にすることができ(←主軸変換),この結果慣性テンソルは次のように簡単化されます。
A=I'11=Ix=∫(y'^2+z'2)dm,B=I'22=Iy=∫(z'^2+x'2)dm,C=I'33=Iz=∫(x'^2+y'2)dm
ここでA,...続きを読む

Q歳差運動(コマ)における角運動量の方向について

基本的な事と思いますが、質問をさせていただきます。

角運動量を“L”とし、位置ベクトルを“r”、運動量ベクトルを“mv”としたときに、L=r×mvとなると思います。その方向は、外積として定義され、“r”と“mv”の両方に垂直な方向と認識しております。

しかし、教科書に掲載されているコマの歳差運動の解説によると、「こまの支点がx-y平面上で動かないときに、角運動量の方向は重心の位置ベクトルを“rG”の方向と一致とする」と記載されています。そもそも、角運動量の式によれば、L=rG×mvとなり、“rG”にも垂直で、方向は一致しないのではないかと思っています。その解説をしてもらえると助かります。

さらに、支点に作用する抗力を“R”とし、その垂直成分を“RL”とした場合には、こまの重力“Mg”と等しく偶力が形成されると思います。その偶力モーメントは“N=rG×Mg”であり、トルクの方向は“rG”“g”に垂直であることは理解できるのですが、そもそもモーメント(トルク)は角運動量の時間的な変化量と認識しており、モーメントと角運動量は同じ方向になるのではないかと思うのですが、併せて解説をいただけると助かります。

質問に、前提条件等の記載漏れがあるかもしれませんし、大変基礎的な質問かもしれませんが、解説のほどよろしくお願いします。

基本的な事と思いますが、質問をさせていただきます。

角運動量を“L”とし、位置ベクトルを“r”、運動量ベクトルを“mv”としたときに、L=r×mvとなると思います。その方向は、外積として定義され、“r”と“mv”の両方に垂直な方向と認識しております。

しかし、教科書に掲載されているコマの歳差運動の解説によると、「こまの支点がx-y平面上で動かないときに、角運動量の方向は重心の位置ベクトルを“rG”の方向と一致とする」と記載されています。そもそも、角運動量の式によれば、L=rG×mvとなり、“rG”にも垂...続きを読む

Aベストアンサー

#3への「補足」に対して

>『Li と Lj は・・・

図を描いてお考えになるとよいと思いますが、ここでは式で説明します。

i と j を結ぶ直線と回転軸との交点の位置ベクトルを p とすると、回転軸に垂直なベクトル q を使って
ri = p + q
rj = p - q
と書くことができます。これらを使うと
Li = ri×(mi vi)
  = mi(p + q)×vi
  = mi(p×vi + q×vi)、 (1)
Lj = rj×(mj vj)
  = mj(p - q)×vj
  = mj(p×vj - q×vj)
となりますが、Lj の式で mj = mi、vj = -vi なので
Lj = mi(-p×vi + q×vi)  (2)
です。
(1)式と(2)式を比べると、p を含む項は大きさが同じで符号が逆(つまりベクトルの方向が逆)です。これに対して、q を含む項はまったく同じです。よって、Li と Lj を加えると、p を含む項は打ち消し合い、q を含む項は2倍になります。式で書くと
Li + Lj = 2 mi q×vi
です。ここで、q は回転軸に垂直で、vi は回転軸と q の両方に垂直ですから、q×vi は回転軸に平行です。回転軸に垂直な成分は p×vi に含まれていたのですが、すでに述べましたように、和をとる過程で消えてしまったわけです。

>“v”とは

#3の(3),(4)式における v は、仮に vi が i によらず一定であるとした場合のその一定の速度のことですから、回転しているコマの場合には対応するものはありません。

#3への「補足」に対して

>『Li と Lj は・・・

図を描いてお考えになるとよいと思いますが、ここでは式で説明します。

i と j を結ぶ直線と回転軸との交点の位置ベクトルを p とすると、回転軸に垂直なベクトル q を使って
ri = p + q
rj = p - q
と書くことができます。これらを使うと
Li = ri×(mi vi)
  = mi(p + q)×vi
  = mi(p×vi + q×vi)、 (1)
Lj = rj×(mj vj)
  = mj(p - q)×vj
  = mj(p×vj - q×vj)
となりますが、Lj の式で mj = mi、vj = -vi なので
Lj = mi(-p×vi + q×vi)  (2)
です...続きを読む

Q角加速度とトルクと慣性モーメントの関係

トルクを慣性モーメントで割ると角加速度が出ると思うのですが
どうして出るのでしょうか?
トルク:N
角加速度:α
慣性モーメント:I
式はN=α・I
単位だけで見ると
N・m = rad/s^2 × kg・m^2
で一見関係が無いように見えますが・・・
感覚的に、軽くて小さなものと重くて平べったいものを同じスピード(加速度)で回すときは
後者の方がかなり力がいるのはわかるのですが・・・
式から関係性が見えません・・・
どなたかご存知の方、詳しい方、ご教示いただけますでしょうか?

Aベストアンサー

単位だけに注目します。

1Nは1kgの質量の物体を1m/s^2で加速させる力の大きさです。
つまり
1N=1kg・m/s^2

つまりトルクの単位は
N・m=kg・m/s^2・m=kg・m^2/s^2
となります。

慣性モーメントと角加速度の積は
kg・m^2・rad/s^2
となりますが、角度の単位radは無次元量(長さを長さでわったものだから)ですので無視できます。つまりこの積は
kg・m^2/s^2
とあらわせることになり、これはトルクの単位と等しいことがわかります。

Q慣性モーメント,回転半径とは?

慣性モーメントとは質量mなる物体の微小部分び質量をdmその部分と特定の軸Aとの距離をrとするときr^2とdmの積の物体の全部分についての総和を軸Aに関する慣性モーメントと言う。
これが本にある定義です。
ここで∫r^2dmの次元はm^2・kgですよね?
曲げモーメントやその他のモーメントは次元がNmです。
次元が全く違うのになぜモーメントという名がついてるのでしょうか?
また慣性とついてるのはなぜでしょうか?

それと
物体の全質量をMとすると軸からkの距離に全質量が集まったと考えれば
慣性モーメントI=Mk^2となり
kを回転半径という。
これが回転半径の定義と本にはあります。
なぜこれが回転半径なんでしょうか?
どなたかお願いします。

Aベストアンサー

ある場所P(位置ベクトルをrとします)で定義されている物理量Aについて
rとAとの積をモーメントという,
と思えばいいでしょう.
Aがどういう物理量かで,当然モーメントの次元(あるいは単位)は違います.

Aが力Fで,積として外積をとればr×Fは力のモーメント.
Aが運動量pならr×pは運動量のモーメントですが,
これは通常角運動量と呼んでいます.

Aがスカラー量のときも考えられます.
ペアの点電荷+q,-qがr1,r2にあるとき
q(r1) + (-q)(r2)=qdを電気双極子のモーメントといいます.
dは-qからqに向かうベクトルです.
磁気モーメントも同様ですね.

さらに拡張して

  +q  -q

  -q  +q

のような4つの電荷(磁荷)に対しても,電気(磁気)4重極モーメントがあります.
これは2階のテンソル量です

質点がたくさんあって(m1,m2,...),それらの位置ベクトルが r1,r2,... のとき
質点の単純なモーメント
m1 r1 + m2 r2 + ...
はもちろん重心の総質量(m1+m2+...)倍を与えます.
質点系全体の並進運動だけ考えるなら,全質量が重心に集まったと思って良い
というわけです.

質点の2次のモーメント(この場合は原点ではなくて軸からの距離になっていますが)
m1 r1^2 + m2 r2^2 + ...
が慣性モーメントIに他なりません.
くだいて言えば,質点系全体の回転を論じるときには,
質量Mの質点に長さkのひもを結んで回転させる話と同様だということです.
回転半径の名前はそこから来ているのでしょう.

「慣性」モーメントと呼ぶのは,
Iが回転に関する変化のしやすさを表す量になっているからでしょう.
回転の様子を支配する方程式が
I(dL/dt) = N
ですから,
同じ力のモーメントNに対してはIが大きいほど角運動量Lが変化しにくいのです.
ちょうど並進運動の
m(dv/dt) = F
と対応しています(mは慣性質量!)

なお,確率論などでは,分布関数 f(x) に対して
∫x^n f(x) dx
をn次のモーメントと呼んでいます.
上の話とも符合しますね.

ある場所P(位置ベクトルをrとします)で定義されている物理量Aについて
rとAとの積をモーメントという,
と思えばいいでしょう.
Aがどういう物理量かで,当然モーメントの次元(あるいは単位)は違います.

Aが力Fで,積として外積をとればr×Fは力のモーメント.
Aが運動量pならr×pは運動量のモーメントですが,
これは通常角運動量と呼んでいます.

Aがスカラー量のときも考えられます.
ペアの点電荷+q,-qがr1,r2にあるとき
q(r1) + (-q)(r2)=qdを電気双極子のモーメントと...続きを読む

Q剛体振り子の周期

剛体振り子の運動方程式 I(θの2回微分)=-Mghθ
から、普通に
周期T=2π√(I/Mgh)
と教科書に書いてあるのですけど、この周期Tはどうやって求めたのでしょう?計算の仕方がわからないので教えてください☆お願いします!
T=2π/ωと、ω=(θの微分)を用いるのはわかるんですけど・・・。

Aベストアンサー

これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。
すなわち
dθ^2/dt^2 = -Aθ
(A=Mgh/I)
これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはtの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ = a・sin(ωt+c)
tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
-a・ω^2・sin(ωt+c) = -A・a・sin(ωt+c)
よって
ω=√A=√(Mgh/I)
T=2π/ω=2π√(I/Mgh)

Qモーメントとトルクの違い

(支点からの距離)×(力の大きさ)…互いに垂直な場合
を、高校や大学では「モーメント」と習いました。
しかし職場(機械を作る会社)では「トルク」と呼んでいるようですが確信が持てません。
高校や大学での「モーメント」と職場での「トルク」は同じでしょうか。
同じだとしたら何故このような違いが生じたのでしょうか。

ちなみに職場で「モーメント」と言えば大学で習った慣性モーメントIのことです。

Aベストアンサー

> (支点からの距離)×(力の大きさ)…互いに垂直な場合
> を、高校や大学では「モーメント」と習いました。

正確に言えば,これは「力の(1次の)モーメント」です.
機械関係では,これをトルクと呼んでいるようです
(固定軸周りのときに限る?).

モーメントというのは,
単に力のモーメントや慣性モーメントだけを意味するのではなく,
もっと広い概念です.
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=784419
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=265077
などをご覧下さい.

> ちなみに職場で「モーメント」と言えば大学で習った慣性モーメントIのことです。
多分,慣習的な呼び方なんでしょうね.
私は物理屋ですが,誤解のおそれがないときは慣性モーメントのことを
単にモーメントということもあります.

Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む


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