1つの小円が8回回転(自転)しつつ大円を1周する。
このとき小円上の一点が描く軌跡は?


と言う問題で画像は参考の図です。


外サイクロイドで考えてみましたができませんでした。

何かアドバイスをお願いします。

「軌跡の問題です。」の質問画像

A 回答 (2件)

No1 さんの言うとおりです。



余談を交えて,少し補足を。

私はプトレマイオスの周転円を思い出しましたが,質問者は天文関係を勉強中の方なのでしょうか?

>外サイクロイドで考えてみましたが

サイクロイドではありませんね。
固定円に密着して,その周囲を小円が公転するのではないからです。

しかし,逆に,数式自体はサイクロイドより簡単では?

円の半径は何でもいいのですが,とりあえず作図した

固定円(大円)の半径5
公転円(小円)の半径1

とします。

小円は大円の円周上を公転すると考えると,
大円の周り8回転ということは,
小円の中心が1公転する間,つまり大円が1自転する間に,
小円が8回自転してることになります。

この
大円が1自転する間に小円が8回自転
という関係が,回答者No1や以下の私の数式になります。

大円の媒介変数表示を
(5*cos(t), 5*sin(t))

とすると,小円の媒介変数表示は
(cos(8*t), sin(8*t))

となります。

小円上の1点の描く軌跡は,
これらのベクトルの和

(5*cos(t)+cos(8*t), 5*sin(t)+sin(8*t))

と表せます。

これが添付図のようになります。

公転円(黒円)上の点(黒点)が描く軌跡が赤曲線です。

黒点がx軸の正方向を向くたびに,合計8個の公転円を示しました。

質問者が天文関係の方なら蛇足になってしまいますが,
大円の内側に,結び目のように,ぐにゅっと曲がった部分,
これが,火星の逆行現象を,天動説(この図の中心に地球)で説明するために持ち出された周転円の考え方でした。

また,月は自転速度と公転速度が等しいため,いつも同じ面を地球に向けています。
1公転で1自転になり,この質問の特殊例と言えるでしょう。
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公転の中心を原点(0,0)とすると


大円の点Pの座標(Rcos(t),Rsin(t))(R:大円の半径)、
小円上の点Q(x,y)=(Rcos(t)+rcos(8t+to),Rsin(t)+rcos(8t+to))
(小円の半径r(0<r<R))
と表すことが出来る。
自転の初期値の角度(位相)to=0とおけば
Q(x,y)=(Rcos(t)+rcos(8t),Rsin(t)+rcos(8t))、(0≦t<2π)
これが軌跡(x,y)の媒介変数tによる表現になります。

添付図はR=6,r=1としてQ(x,y)の軌跡を描いたものです。
(図は、小円とそのときの自転の動径を赤線、大円を水色、Qの軌跡を青線で描いてあります。)
なお、図は参考URLのフリーソフトGRAPESを使って描きました。

参考URL:http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/
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円に内接する三角形、四角形の面積を求める公式はありますが、(それぞれヘロン、ブラーマグプタの公式)
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

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θ1+θ2+・・・+θn=2π
sin(θk/2)=(ak/2)/r、cos(θk/2)=√(r^2-(ak/2)^2)/r (k=1,2,・・・,n)
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S=Σ[k=1~n]ak*r*cos(θk/2)/2
=Σ[k=1~n]ak*√(r^2-(ak/2)^2)/2

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問題___________________
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_____________________

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二つの方法について説明します。

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Q円の面積の重なり

円の面積について質問です。
得意なかた、ぜひ教えて下さい。

円を半径の1/6の距離、移動させます。
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Aベストアンサー

もとの円を
x^2+y^2=r^2...(1)
とします。また中心を(1/6)rずらした円を
(x-r/6)^2+y^2=r^2...(2)
とします。(1),(2)を連立させた式で二円の交点が出ます。容易に判るように(1)-(2)から
x=r/12...(3)
半径の1/6をずらしたことからこれは自明です。重なり部分は交点を通るx=r/12の線に対して線対象の弧で囲まれた部分です。動かす前の円についてのx=r/12からx=rまでの面積の2倍と考えればよいことがわかります。
従って
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をだして、これを2倍すればよいと判ります。積分に2がかかっているのはx軸に対して上下の面積を合計するからです。
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Q円の周りを円が回転するとき何回転するかという原理

同じ大きさの円が二つあります。

下の図のように一つは固定させ、もう一つは固定させた円の外周を滑らないように回転させていきます。
そして回転させた円がちょうど一周すると、この円は2回転しているそうなのです。

これは
固定させている円の半径と、回転させる円の半径の比が1:1ならば2回転
1:2ならば3回転
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この意味が分かりません。

実際に同じ大きさの円を使い試してみましたが、一周すると1回転だけしか回転しません。

どういうことなのでしょうか?

よろしくお願いします。

ちなみに判断推理の問題です。

Aベストアンサー

下の図を参照して下さい。

赤の円を基準として黒の円が時計回りに回るとします。二つとも同じ半径のケースです。

赤の円の90°の位置(☆の位置)まで回るとしたら、黒の円は180°回転しています(赤丸の位置でイメージして下さい)。何故「90°の位置に来るだけで倍の180°回るか」と言えば、黒い円の位置が赤丸に沿って移動する為です。

赤丸に沿って位置が移動する、ということは、位置だけでなく角度も回ります。従って90°の位置に来たときの黒丸の角度は、自分自身が回った90°プラス赤丸に沿って移動することにより回転する90°を加えて、180°回転することになります。

すなわち、一周する際は、両方の円の円周は同じ長さである為、黒丸自身は1回転すれば良いですが、位置自身が赤丸に沿って一周分(360°)移動しながら回転する為に、全体で見れば1回転+1回転で2回転したことになります。

大雑把にまとめると、「自分自身が回った1回転」+「赤丸に回された1回転」=2回転するというイメージです。

>固定させている円の半径と、回転させる円の半径の比が1:1ならば2回転
1:2ならば3回転
1:3ならば4回転

これは比率が逆だと思います。2:1なら3回転、3:1なら4回転と思います。

固定円の半径が2で回転円が1なら、円周も2:1なので、回転する円自身は2回転すれば固定円の円周とイコールとなるので固定円の周りを一周できます。上記と同様に「固定円に回された1回転」を加えて、3回転することになります。

3:1でも同様に3回転+1回転=4回転です。

以上です。

下の図を参照して下さい。

赤の円を基準として黒の円が時計回りに回るとします。二つとも同じ半径のケースです。

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Q円の面積 小学校で、どう教わりましたか?

昭和40年代に小学校へ入学して卒業した世代の者です

小学校で円の面積は次のように教わった記憶があります。

・円を中心から細かく分割する
・半径に添って切って、扇形のギザギザ状態にする
・それを二分割して、ギザギザを合わせてくっつける
・ギザギザを物凄く細かく細かくすると、長方形になる
・長方形の高さは、円の半径
・長方形の底辺は、円周の半分なので、直径×円周率(3.14)÷2
・円を長方形化したので、長方形の面積が円の面積
・長方形の面積は、底辺×高さなので、半径×直径×円周率(3.14)÷2
・直径÷2=半径なので、式を整理すると
※ 円の面積=半径×半径×円周率(3.14)

以上、こんな感じでした

小学生時代は何だかインチキ臭いなぁ(笑)と思いましたが、正確な数学的な円の面積は、高校生になって積分を教わるまで知りませんでしたが…

皆さんは、小学生時代に、どう教わりましたか?
年代も一緒に教えて頂けると幸いです

また、現代はどう教えているのかも別途お願いします

Aベストアンサー

 いわゆる「詰め込み世代」なんですが、円の求積公式自体は「ともかく覚えとけ」でしたね。

 その上で、いろいろ説明があったように記憶しています。以下、算数を超える用語も使います。

1.πr^2は、その円に外接する正方形の面積を考えると4r^2で、4より小さいπが正方形よりどれだけ面積が小さいかを表している。

2.お示しのような長方形への変形。

3.次のような三角形への変形。
 ・円を細かい同心円に分割する(○→◎みたいな感じ)。
 ・円に真上から中心まで、スパッと切り込みを入れる。
 ・切込みから同心円を真っ直ぐに伸ばしていくと三角形ができる(○→◎→△)。
 ・三角形は、底辺2πr、高さrだから、面積は(1/2)×2πr×r=πr^2。

>また、現代はどう教えているのかも別途お願いします

 教科書出版社の一つ、啓林館のサイト(「算数用語集」内のもの)では、以下のように解説しています。

http://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sansu/WebHelp/06/page6_15.html

 正方形と円の比較から入って、仰るような円を長方形に変えてみる手法が用いられていますね。

 いわゆる「詰め込み世代」なんですが、円の求積公式自体は「ともかく覚えとけ」でしたね。

 その上で、いろいろ説明があったように記憶しています。以下、算数を超える用語も使います。

1.πr^2は、その円に外接する正方形の面積を考えると4r^2で、4より小さいπが正方形よりどれだけ面積が小さいかを表している。

2.お示しのような長方形への変形。

3.次のような三角形への変形。
 ・円を細かい同心円に分割する(○→◎みたいな感じ)。
 ・円に真上から中心まで、スパッと切り込みを入れる。
 ・切...続きを読む

Q角度とは円1周を360等分したものを基準としてるんですか?

角度とは円1周を360等分したものを基準としてるんですか?

たとえば1度は円を360等分した内の1ということでしょうか?

Aベストアンサー

市販の三角定規で、「30度」「45度」「60度」「90度」という角度が、表面に印刷してあるものがあります。また、小学校・中学校の教科書などで、三角形に上のような角度が書いてあるものがあります。これらの「角度」は、あなたが書いたように、円の一周を360度として(したがって、その360等分したものを1度として)書いてあります。

たとえば、90度は、円の4分の1ですから、いわゆる「直角」というものになります。


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