1つの小円が8回回転(自転)しつつ大円を1周する。
このとき小円上の一点が描く軌跡は?


と言う問題で画像は参考の図です。


外サイクロイドで考えてみましたができませんでした。

何かアドバイスをお願いします。

「軌跡の問題です。」の質問画像

A 回答 (2件)

No1 さんの言うとおりです。



余談を交えて,少し補足を。

私はプトレマイオスの周転円を思い出しましたが,質問者は天文関係を勉強中の方なのでしょうか?

>外サイクロイドで考えてみましたが

サイクロイドではありませんね。
固定円に密着して,その周囲を小円が公転するのではないからです。

しかし,逆に,数式自体はサイクロイドより簡単では?

円の半径は何でもいいのですが,とりあえず作図した

固定円(大円)の半径5
公転円(小円)の半径1

とします。

小円は大円の円周上を公転すると考えると,
大円の周り8回転ということは,
小円の中心が1公転する間,つまり大円が1自転する間に,
小円が8回自転してることになります。

この
大円が1自転する間に小円が8回自転
という関係が,回答者No1や以下の私の数式になります。

大円の媒介変数表示を
(5*cos(t), 5*sin(t))

とすると,小円の媒介変数表示は
(cos(8*t), sin(8*t))

となります。

小円上の1点の描く軌跡は,
これらのベクトルの和

(5*cos(t)+cos(8*t), 5*sin(t)+sin(8*t))

と表せます。

これが添付図のようになります。

公転円(黒円)上の点(黒点)が描く軌跡が赤曲線です。

黒点がx軸の正方向を向くたびに,合計8個の公転円を示しました。

質問者が天文関係の方なら蛇足になってしまいますが,
大円の内側に,結び目のように,ぐにゅっと曲がった部分,
これが,火星の逆行現象を,天動説(この図の中心に地球)で説明するために持ち出された周転円の考え方でした。

また,月は自転速度と公転速度が等しいため,いつも同じ面を地球に向けています。
1公転で1自転になり,この質問の特殊例と言えるでしょう。
「軌跡の問題です。」の回答画像2
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公転の中心を原点(0,0)とすると


大円の点Pの座標(Rcos(t),Rsin(t))(R:大円の半径)、
小円上の点Q(x,y)=(Rcos(t)+rcos(8t+to),Rsin(t)+rcos(8t+to))
(小円の半径r(0<r<R))
と表すことが出来る。
自転の初期値の角度(位相)to=0とおけば
Q(x,y)=(Rcos(t)+rcos(8t),Rsin(t)+rcos(8t))、(0≦t<2π)
これが軌跡(x,y)の媒介変数tによる表現になります。

添付図はR=6,r=1としてQ(x,y)の軌跡を描いたものです。
(図は、小円とそのときの自転の動径を赤線、大円を水色、Qの軌跡を青線で描いてあります。)
なお、図は参考URLのフリーソフトGRAPESを使って描きました。

参考URL:http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/
「軌跡の問題です。」の回答画像1
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Q円の軌跡

固定された大円の内側と外側を、大円の半径の半分の2つの小円が
すべることなく回転する。大円上の時計で言えば9時の位置で2つの小円の矢印の向きは
どうなっているかと言う問題です。

 通常1回転すれば矢印は反対の下向きになり9時の位置では左向きに
 なるとおもうのですが回答は3番の右向きです。

 なぜ右向きになるのかどなたか詳しく教えてください。
 よろしくお願いします。

Aベストアンサー

まず3時の位置がどうなるか?
小円の円周の1/2が大円の円周の1/4
だけ滑らずに動くので、3時の位置では
外側の小円の矢印の先端が大円に接し、
内側の小円の矢印の根元が大円に接する
ことになり、両矢印は左向きです。
6時の位置は質問者さんが書いている
通り両矢印は下向きで、丁度、問題の
図を逆さまにした状態です。
そこから9時の位置まで進めると、
最初に12時から3時に進めたときと
同じように、
外側の小円の矢印の先端が大円に接し、
内側の小円の矢印の根元が大円に接する
ようになるので、今度は両矢印とも
右向きになります。


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