軌跡の問題です。

１つの小円が８回回転(自転)しつつ大円を１周する。
このとき小円上の一点が描く軌跡は？


と言う問題で画像は参考の図です。


外サイクロイドで考えてみましたができませんでした。

何かアドバイスをお願いします。

No.2 回答者： Iguchi_Y 回答日時： 2011/04/14 18:49

No1 さんの言うとおりです。

余談を交えて，少し補足を。

私はプトレマイオスの周転円を思い出しましたが，質問者は天文関係を勉強中の方なのでしょうか？

＞外サイクロイドで考えてみましたが

サイクロイドではありませんね。
固定円に密着して，その周囲を小円が公転するのではないからです。

しかし，逆に，数式自体はサイクロイドより簡単では？

円の半径は何でもいいのですが，とりあえず作図した

固定円（大円）の半径５
公転円（小円）の半径１

とします。

小円は大円の円周上を公転すると考えると，
大円の周り8回転ということは，
小円の中心が1公転する間，つまり大円が1自転する間に，
小円が8回自転してることになります。

この
大円が1自転する間に小円が8回自転
という関係が，回答者No1や以下の私の数式になります。

大円の媒介変数表示を
（5*cos(t), 5*sin(t)）

とすると，小円の媒介変数表示は
（cos(8*t), sin(8*t)）

となります。

小円上の1点の描く軌跡は，
これらのベクトルの和

（5*cos(t)+cos(8*t), 5*sin(t)+sin(8*t)）

と表せます。

これが添付図のようになります。

公転円（黒円）上の点（黒点）が描く軌跡が赤曲線です。

黒点がｘ軸の正方向を向くたびに，合計８個の公転円を示しました。

質問者が天文関係の方なら蛇足になってしまいますが，
大円の内側に，結び目のように，ぐにゅっと曲がった部分，
これが，火星の逆行現象を，天動説（この図の中心に地球）で説明するために持ち出された周転円の考え方でした。

また，月は自転速度と公転速度が等しいため，いつも同じ面を地球に向けています。
１公転で1自転になり，この質問の特殊例と言えるでしょう。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2011/04/14 11:52

公転の中心を原点(0,0)とすると

大円の点Pの座標(Rcos(t),Rsin(t))(R:大円の半径)、
小円上の点Q(x,y)=(Rcos(t)+rcos(8t+to),Rsin(t)+rcos(8t+to))
(小円の半径r(0<r<R)）
と表すことが出来る。
自転の初期値の角度（位相）to=0とおけば
Q(x,y)=(Rcos(t)+rcos(8t),Rsin(t)+rcos(8t))、(0≦t＜2π)
これが軌跡(x,y)の媒介変数tによる表現になります。

添付図はR=6,r=1としてQ(x,y)の軌跡を描いたものです。
（図は、小円とそのときの自転の動径を赤線、大円を水色、Qの軌跡を青線で描いてあります。）
なお、図は参考URLのフリーソフトGRAPESを使って描きました。

参考URL：http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/