初めて質問させていただきます、よろしくお願いします.

ここからの質問内容は一部こちらのURLを参照しながら説明いたしますので、御覧になりながらお読みになっていただけると分かりやすいかと思います.
http://ksgeo.kj.yamagata-u.ac.jp/~kazsan/class/g …

球の体積を、極座標を利用した求め方について調べましたところ
球座標上においた点P(r, θ, φ) における微小体積(dV)の表し方が、

dV=r^{2}sinθdrdθdφ

と表されておりました.

ここで疑問なのですが、点PRの距離rdθと点PSの距離rsinθdφについて...

θとφはπで表される角度ですが
πとは、直径が1である円の、円周の長さの値です.
ならば、点PRの距離は直径2rに、θを掛けた2rdθで
コレと同じく、点PSについても、2rsinθdφなのではないかと思ったのですが
この考えは間違っているのでしょうか.よろしくお願い致します.

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A 回答 (2件)

>点PRの距離は直径2rに、θを掛けた2rdθで



これが間違っています。円弧の長さは【半径】×角度(ラジアン)です。
ここを直径と間違えているために因子2がよけいに出てきているだけです。

>πとは、直径が1である円の、円周の長さの値です.

これは間違っていませんが、円を一周した角度が2πである事を踏まえると

2πは【半径】が1である円(単位円)の円周の長さ

と覚えておいた方が間違いにくいかと思います。この方がラジアンの定義

1ラジアンは円弧の長さが半径に等しくなる角度
=単位円(半径が1である円)上の弧の長さが1になる角度

とも整合性があります。
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この回答へのお礼

回答有難うございます.

分かりやすい解説をありがとうございました.
私の認識が間違ってたようです.
>2πは【半径】が1である円(単位円)の円周の長さ
このご説明のとおりに計算すると、とても納得がいきました.
この度はありがとうございました・

お礼日時:2011/04/23 16:55

こんにちわ。



>ならば、点PRの距離は直径2rに、θを掛けた2rdθで
半径:rの円において中心角がθとなる円弧の長さは、rθです。
円周は中心角が 2πですから、2π×rで円周の長さは 2πrになります。

ですから、半径:rで中心角:dθの円弧の長さは、r dθで合っています。


>θとφはπで表される角度ですが
>πとは、直径が1である円の、円周の長さの値です.
これも、半径:1/2、中心角:2πと考えればいいわけです。
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この回答へのお礼

分かりやすいご説明をありがとうございました.
>半径:rの円において中心角がθとなる円弧の長さは、rθです。
この認識がなかったことが今回の疑問につながったようです.
有難うございます.

お礼日時:2011/04/23 16:56

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Q体積から重量の計算方法

昨年よりネット通販の業務に就いたばかり、ズブの素人でわからない事ばかりですが、その中で商品を発送する際にある運送会社を使って商品を発送する際は、料金表が重量基準(kg)となっている為、重量がわからない場合は、その商品の体積(M3)より重量を計算する必要があるのですが、計算の仕方がよくわかならいので出入りしている運送業者にたずねたところ、業界的には、体積より重量を計算する場合は、体積(M3)x280=換算重量(kg)になると教えられました。(例:体積1m3の場合 1x1x1x280=280kg) しかしながら、この計算方法についての(特に280という値)の根拠を聞いたところ、その人も昔からこれで教わったので根拠についてはよくわからないとの事です。 今、会社の上役よりこの計算方法について色々つっこまれていますが自分自身この計算方法の根拠が正しいのかよくわかりません。 どなたかこの計算方法が果たして正しいのか? その場合の根拠(280とう値等)、正しくない場合は、どの様に体積から重量へ換算すればよいのかアドバイス頂けますでしょうか? (色んなサイトを見ると水で考えると1m3=1t等の算数的説明がありますが出来れば実務的な方法でご教授頂ければ幸いです。)

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クロネコヤマトの「容積換算重量」にその「280」という数字を使います。
http://www.kuronekoyamato.co.jp/yamatobin/yamatobin.html

>お荷物1つあたりの「重量」は、実重量を測った上で容積換算(下記参照)を行い、
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Q数Ⅲ 式と曲線の問題です。中心の極座標(2,π/2)、半径3の円の極方程式を求めよ。よろしくお願

数Ⅲ 式と曲線の問題です。
中心の極座標(2,π/2)、半径3の円の極方程式を求めよ。
よろしくお願いします。

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xy座標で言えば中心は(0,2),半径3の円、ゆえに

x^2+(y-2)^2=3^2

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Q体積の計算方法について

体積の計算方法について、質問させて頂きます。
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#3です。
補足します。

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(計算は高校で覚える積分を使わないとできません。π=3.14159...です。中学では、積分を使って導いた結果の式を公式として利用するか、立体モデルを作って液体を入れて容積を量て体積を求めるしかないですね。)

Q2重積分を極座標を利用して求めよ

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∬[D]log(√(x^2+y^2))dxdy
=∬{1≦r≦2,0≦θ≦π/2} log(r) rdrdθ
=∫[θ:0,π/2] dθ*∫[1,2] rlog(r) dr
=(π/2)∫[1,2] rlog(r) dr
部分積分して
=(π/2){[(r^2/2)log(r)][1,2]-∫[1,2](r^2/2)(1/r)dr}
=(π/2){2log(2)-(1/2)∫[1,2] rdr}
=(π/2){2log(2)-(1/2)[r^2/2][1,2]}
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=πlog(2)-(3/8)π

Qスプリングの体積の計算方法を教えてください

仕事の都合で、スプリングの重量、体積を計算したいのですが
計算式があったら教えてください。
重量の目安程度なので、計算値の精度はそれほど問いません。

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スプリング体積Vは次の式で求めることができます。

 V=Lπr^2
     Lはスプリング線長。線長とは線を直線に伸ばしたときの長さで
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     rはスプリング線の半径、つまり線径の1/2。
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ただし、スプリングの巻きの密度が粗い場合には次の補正が必要です。
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Q3次元極座標から2次元極座標への発散の変換(θ=π/2)

三次元極座標(r,θ,φ)の発散において、θ=π/2と置き換えθに関する偏微分の項を消せば二次元極座標になるはずですが、何度計算してもそうはなりません。なにか勘違いをしているのでしょうか?
以下で偏微分の記号をd/drに変えて書かせてせて頂きます。

三次元極座標においてベクトル場A(A1,A2,A3)発散のrに関する項は(θ=π/2としてd/dθの項を消す。ちなみにこの操作は発散のrに関する偏微分の項に何の影響も与えません)
1/(r^2) d/dr(r^2 * A1)
です。


一方、二次元極座標においてベクトル場A(A1,A2,A3)の発散のrに関する項は
1/r d/dr(r * A1)

となり、一致しません 。これが私の計算間違いなのかそもそも一致しないのが正しいのか
また、一致しないとすればその本質的な原因はなんなのでしょう?

どなたかご教授いただけないでしょうか?

Aベストアンサー

ANo.2へのコメントについてです。

> もう少し時間がかかりそう

つまり、全く分かんないってことですね。だとすれば、回答の説明が悪いんですから、書き直しましょう。

 ご質問にある

> 三次元極座標(r,θ,φ)の発散

という何とも乱暴な(座標は発散なんか持たない。ベクトル場の発散でしょうがよ)言葉遣いからして、なんかおかしい。もしかするとご質問の疑問は、

  (1)ベクトル場Aは3次元空間中の各点で定義されている、
という定義域の話と、
  (2)ベクトル場Aは空間中の各点に3次元ベクトルを対応させる、
という値域の話とをごっちゃになさっているだけではないか?

と推測される。というのは、ご質問にある、

> 三次元極座標においてベクトル場A(A1,A2,A3)

ってところ、「三次元極座標においてベクトル場A」を考えているのなら、それは(1)を意味している。また、「ベクトル場A(A1,A2,A3)」という部分は(2)を意味している(っぽい)。両者は別々の話なのに、一緒くたにして書いてある。
 「AはA:R^3→R^3であるものとする」とでも宣言してあれば何の話なのかはっきりするのだけれども、それがご質問に書いてないということは、「A:R^3→Xである。その定義域R^3をある曲面に制限すると…」って話と「A:Y→R^3である。その値(∈R^3)をある曲面(の接平面)に射影すると…」って話が混在していることが疑われるな、と思います。

 (円柱座標であろうと何座標であろうと関係なしに)定義域が3次元空間に広がっていて値域が3次元ベクトルである場Aについて、その定義域をひとつの平面上に限定して考えてみたって、「各点に3次元ベクトルが対応している」という値域についての話には何の違いもなく、なので、定義域を限定しただけじゃ2次元のdivergenceなんか出てこない。(わざわざ式を書いてみなくたって)当たり前ですけど、えーと、これは腑に落ちますかね?
 さて、

> そもそも円柱座標のdivergenceでz軸方向の偏微分項を消せば、2次元極座標のdivergenceと一致する

の「消す」の意味ですけど、それは「消えるようにする」ということではなく、自分で勝手に「無視する」という意味でしょう。 この操作によって、R^2→R^2の別のベクトル場を作る。するだとすればそれはまさしく、ANo.2でθ=0のところで説明した、射影で作ったベクトル場Bのこと。
 で、以下はANo.2の繰り返しですけど:

 すなわち、Bは、Aの3つの成分のうち、z=0の平面と直交する成分を無視したもの。従って、Bはこの平面上の各点にベクトルを対応させ、しかもそのベクトルはこの平面と平行な2次元ベクトルである。
 そういう2次元ベクトル場Bについてなら、3次元のdivergenceと2次元のdivergenceと「一致する」のは当たり前である。これはAとは何の関係もない話で、最初っから平面上で任意の2次元ベクトル場B:R^2→R^2を考えれば当たり前に成り立つことである。

 θ≠0の場合には、円錐面上の各点について、その点で円錐面と直交する成分を無視してBを作る、という「操作」をする話になる。もちろんAとは関係なく、最初っから円錐面上で任意のベクトル場B(ただし、Bの各点におけるベクトルはその点において円錐面と平行である、という制約がつく。)を考えれば良い。なお、Bを直交座標で表現すれば、「Bは各点に3次元ベクトルを対応させるが、ただし、その3次元ベクトルには制約がひとつ付く(ので、自由度は2つしかない)」というふうに書くことになる。

 そして、特にご質問のθ=π/2の場合については円錐面が直線に縮退するんで、無視しないで残るのは成分ひとつだけ、つまりスカラー場。直線上にスカラー値が並んでいるわけで、すなわちBってのはただの、1変数の実関数 R→R のことです。

ANo.2へのコメントについてです。

> もう少し時間がかかりそう

つまり、全く分かんないってことですね。だとすれば、回答の説明が悪いんですから、書き直しましょう。

 ご質問にある

> 三次元極座標(r,θ,φ)の発散

という何とも乱暴な(座標は発散なんか持たない。ベクトル場の発散でしょうがよ)言葉遣いからして、なんかおかしい。もしかするとご質問の疑問は、

  (1)ベクトル場Aは3次元空間中の各点で定義されている、
という定義域の話と、
  (2)ベクトル場Aは空間中の各点に3次元ベクトルを対応...続きを読む

Q体積の計算を教えてください

次の物体の体積がわかりません。
計算方法から教えてください。よろしくお願いします。

底辺の半径が12m、高さ12mの円錐があります。
底辺の中心から6.9m離れたところで、底辺から垂直に切断した時、小さいほうの物体の体積は何m3になるでしょうか。

Aベストアンサー

図1のように、円錐の頂点を原点としたxyz座標空間を考えます(円錐の中心軸がy軸と一致するようにとる)。すると、円錐の母線とyz平面との共有点はz=±yで表せます。

この円錐を、xz平面に平行な平面y=sで切ると、切り口は図2のような円になります。
z=y に y=s を代入すると z=s
よって、切り口の円の半径は s
円の式は x^2+z^2=s^2

したがって、円錐の側面上の点(x,y,z)は、
x^2+z^2=y^2  ・・・式1
で表せます。

次に方向を変えて、この円錐を、xy平面に平行な平面z=sで切ると、切り口は図3のような双曲線の一部になります。
(放物線ではない。)
式1に z=s を代入して、
x^2+s^2=y^2
x=±√(y^2-s^2)  ・・・式2
y=±√(x^2+s^2)  ・・・式3

ここから先は、2通りのうち好きな方で積分をして
車線部分の面積 S(s) を求めます。

しかし、質問者さんが積分を習っていなかったり、積分での答えを求めていなかったら、意味ないので、計算は省略します。

解法1
S(s)=∫【s~12】{√(y^2-s^2)-(-√(y^2-s^2))}dy
=2∫【s~12】√(y^2-s^2)dy

解法2
S(s)=∫【-√(12^2-s^2)~√(12^2-s^2)】{12-√(x^2+s^2)}dx
=2∫【0~√(12^2-s^2)】{12-√(x^2+s^2)}dx

どちらでも S(s) は同じ式になると思います。
あとは、問題で与えられた範囲で面積を積分して体積を求めます。

(小さい方の体積)=∫【6.9~12】S(s)ds

以上です。
積分は公式を見ながらがんばってください。

図1のように、円錐の頂点を原点としたxyz座標空間を考えます(円錐の中心軸がy軸と一致するようにとる)。すると、円錐の母線とyz平面との共有点はz=±yで表せます。

この円錐を、xz平面に平行な平面y=sで切ると、切り口は図2のような円になります。
z=y に y=s を代入すると z=s
よって、切り口の円の半径は s
円の式は x^2+z^2=s^2

したがって、円錐の側面上の点(x,y,z)は、
x^2+z^2=y^2  ・・・式1
で表せます。

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Q極座標が(a,0)である点Aを通り、始線とのなす角がαである直線の極方程式を求めよ。ただし、π/2<

極座標が(a,0)である点Aを通り、始線とのなす角がαである直線の極方程式を求めよ。ただし、π/2<α<πとする。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

直線の方程式をxy座標で書くと

y=(x-a)tanα (1)

極座標rθ系とxy座標の関係は

x=rcosθ, y=rsinθ (2)

(2)を(1)に代入

rsinθ=(rcosθ-a)tanα

r(sinθ-cosθtanα)=-atanα

両辺にcosαをかけると

r(sinθcosα-cosθsinα)=-asinα

加法定理より

rsin(θ-α)=-asinα

r=-asinα/sin(θ-α)

QEXCELで座標から体積の計算

4点の3次元座標をいれてEXCELで体積の計算をしたいのですができますでしょうか
形は不定形です
よろしくお願いします

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計算は出来ます。
計算方法、計算式の問題ですので、どちらかというと数学的なお話です。

4点をABCDとします。
三角形ABCの面積を求めます。
 -BCの長さ、ACの長さ、ABの長さを計算してヘロンの公式
 -角A、ABの長さ、ACの長さを計算して
点DからABCのなす面への距離を求めます。
三角錐(=四面体)の体積=底面積(△ABC)×高さh(点Dから△ABCの距離)×1/3

とか。

--
方法はともあれ、とにかく体積が知りたいぜ。って場合、Excel用のオンラインソフトなどから座標入力できるものが無いか、探してみては?

体積計算アドイン2.1
http://www.vector.co.jp/soft/win95/business/se272062.html
AutoFigure1.0.1
http://www.vector.co.jp/soft/win95/business/se298074.html
Excel面積、体積の計算
http://www.vector.co.jp/soft/win95/business/se252113.html
体積&重心1.6
http://www.vector.co.jp/soft/win95/edu/se288993.html

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4点をABCDとします。
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Q極座標での回転体の体積

はじめまして。satuchikoというものです。
分からない問題がありましたので質問させてください。。

問題は
極方程式r=f(θ)(α<β)で表された曲線をCとし、
Cの両極点A,Bとする。ただし、0≦α<β≦π/2で、Aはαに対応する。
Cと2線分OA,OBとで囲まれた部分の面積を始線の周りに回転して得られる立体の体積を積分であらわせ。
というものです。


私は、
r=f(θ+Δθ)を回転してできた円錐から、r=f(θ)を回転してできた円錐を引いて、ΔVを求めようと思いまして、
r=f(θ+Δθ)を回転して得られた円錐の高さと、r=f(θ)を回転して得られた高さを共にrcosθと近似して、
r=f(θ+Δθ)を回転して得られた円錐の半径はrsin(θ+Δθ)
r=f(θ)を回転して得られた円錐の半径はrsin(θ)として
ΔV = π/3*r^2sin^2(θ+Δθ)*rcosθ - π/3*r^2(sinθ)^2*r*cosθ ・・・(1)
と近似して、あとは、一次の近似式や(Δθ)^2の項は0とみなして計算していきますと、
ΔV = 2π/3*r^3sinθ*cos^2θ*Δθ
となったのですが、
答えはΔV = 2π/3*r^3sinθ*Δθとなっています。
答えはというと、
ΔV = π/3*r^2(cosθ)^2*tan^2(θ+Δθ)*rcosθ - π/3r^2(cosθ)^2*(tanθ)^2*rcosθ ・・・(2)
と近似しています。
その後、1次の近似式や(Δθ)^2$の項は0とみなして計算していくと、結局、
ΔV = 2π/3*r^3sinθ*Δθ
としています。
答えの言っていることは分かりますが、
私のやり方と異なっているので、私のやり方のどこがおかしいのか分かりません。
一番最初の(1)の式が根本的におかしいような気がしますが、
なぜいけないのかがわかりません。
どうかご教授お願いします。

はじめまして。satuchikoというものです。
分からない問題がありましたので質問させてください。。

問題は
極方程式r=f(θ)(α<β)で表された曲線をCとし、
Cの両極点A,Bとする。ただし、0≦α<β≦π/2で、Aはαに対応する。
Cと2線分OA,OBとで囲まれた部分の面積を始線の周りに回転して得られる立体の体積を積分であらわせ。
というものです。


私は、
r=f(θ+Δθ)を回転してできた円錐から、r=f(θ)を回転してできた円錐を引いて、ΔVを求めようと思いまして、
r=f(θ+Δθ)を回転して得られた円錐の高さと、r=...続きを読む

Aベストアンサー

多分、
r=f(θ)が表わす点と原点を結ぶ線分
r=f(θ+Δθ)が表わす線分と原点を結ぶ線分
曲線r=f(θ') (θ≦θ'≦θ+Δθ)
で囲まれる図形(Sとしましょう)を、始線の周りに回転させた立体の体積を求めるために、この立体の体積を
「r=f(θ+Δθ)の"下側"の三角形を回転させてできる円錐」から「r=f(θ)の"下側"の三角形を回転させてできる円錐」を引いたものと近似したんですよね。
結論から言ってしまえば、この近似の段階で、Δθに比例する項を無視してしまっているので、答えが違っています。

本質的ではないので、例えば、r=f(θ)=α(定数)の場合を考える事にして、始線周りに回転させる前の2次元の図形の面積Sを考える事にします。


この場合、「r=f(θ)の"下側"の三角形」は、「r=f(θ+Δθ)の"下側"の三角形」に含まれているわけではなく、ちょっと"飛び出て"いますよね。
この"飛び出て"いる分だけ、たくさん引き算してしまっているんですよね。もちろん、これがΔθ^2程度以下の面積なら問題ないのですが、そうではないので、決して無視できません。(幅がΔθ,高さがrsin(θ)程度ですので、面積はΔθのオーダーです。これを始線周りに回転させようが、該当する体積がΔθのオーダーである事に変わりありません。)

もし、仰るような考え方でやるのであれば、
・ちょっとだけ"飛び出て"いる分だけ、「r=f(θ)の"下側"の三角形」の方を削ってやる
・「r=f(θ)の"下側"の三角形」が飛び出ないように、「r=f(θ+Δθ)の"下側"の三角形」の方を大きくする
のようなことをやってやるのがいいでしょう。

多分、
r=f(θ)が表わす点と原点を結ぶ線分
r=f(θ+Δθ)が表わす線分と原点を結ぶ線分
曲線r=f(θ') (θ≦θ'≦θ+Δθ)
で囲まれる図形(Sとしましょう)を、始線の周りに回転させた立体の体積を求めるために、この立体の体積を
「r=f(θ+Δθ)の"下側"の三角形を回転させてできる円錐」から「r=f(θ)の"下側"の三角形を回転させてできる円錐」を引いたものと近似したんですよね。
結論から言ってしまえば、この近似の段階で、Δθに比例する項を無視してしまっているので、答えが違っています。

本質的ではないので、例え...続きを読む


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