No.1ベストアンサー
- 回答日時:
難しいですね。
nがきまれば、2点間の距離が最大となる配置が存在するはずだとは思うのですが、
一般のnについてどのような配置になるかなど、ちょっと見当もつきません。
ただ、とりあえず指摘できるのは、正多面体は、必ずしも2点間の距離が
最小になる配置ではないということです。
例えば、n=8のとき、半径1の球面上に正六面体(立方体)の各頂点に
なるように配置すると、2点間の距離は
2/√3=1.154…
となりますが、添付図のように(手書きで適当に書いたので歪んでますが)、
上面と下面が合同な正方形(真上から見ると互いに45°ずれた位置にある)で、
側面が6つの合同な正三角形になるような多面体の各頂点になるように
配置してみると、2点間の距離は
4/(√(8+2√2)=1.21556…
となり、立方体のときより長くなります。
これがn=8のときの最大値であるかどうかも分かりません。
仮にこれが最大とするなら、一部の点の位置を変えて、その点からのもっとも
近い点への距離だけが、1.21556…より長くなるようにすることはできますから、
「nにかかわらず各点から最も近い点への距離は,どの点についても同じになる」
ということについても、おそらく言えないのではないかという気がします。
この回答へのお礼
お礼日時:2011/05/25 14:02
なるほど,正多面体の頂点が最も離れる配置でなく,またこれより離れる配置がありそうだと分かりました。しかし私には解けそうもないという気もします。
ご回答,まことにありがとうございました。
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