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画像にあるように、非対称な行列について質問があります。

ある英語の本の問題で、画像に書いてある行列について以下のような問があります。
Is the matrix positive definite?
(これは正定値行列ですか?)

正定値行列がわからなかったので、調べたのですが、普通は対称行列に対して求めるもので、非対称な行列に対してそもそも取り扱われていないようでした。

また、正定値行列は固有値が全て正であるとのことだったのですが、この行列の固有値を求めたところ、複素数が出てきました。

これって正定値行列かどうか、判定することができるのでしょうか?

「非対称行列の固有値と正定値性について」の質問画像

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A 回答 (6件)

No.3のエルミート行列の下りは間違い



nを2以上の整数とし
Aをn次エルミート行列とし
xをn次複素列ベクトルとする
(任意の行列XについてX^*をXの複素共役転置とする)
零ベクトルでない任意のxについて
S=x^*・A・x
が正であるときAを正値であるという
Aが正値⇄Aの実数部行列が正値
は成り立たない
従ってエルミート行列の正値性は対称行列の正値性の拡張として意味がある

従って修正版としては後半を除いて以下の通り

nを2以上の整数とし
Aをn次実行列とし
xをn次実列ベクトルとする
(任意の行列XについてX^TをXの転置とする)
零ベクトルでない任意のxについて
S=x^T・A・x
が正であるときAを正値であるという
S=S^Tなので
S=(S+S^T)/2=x^T・(A+A^T)・x/2
であるから
Aが正値⇄(A+A^T)/2が正値
M=(A+A^T)/2
は実対称行列であるから
行列が正値であるかどうかを判定するには
その行列を対称化した行列により判定すればよい
(行列Aの対称化行列とは(A+A^T)/2のことである)
従って実非対称正方行列の正値性は
実対称行列の正値性の拡張としてあまり役に立たない

今回の場合
√2・M=√2・(A+A^T)/2=
[1 0]
[0 1]
でありMの固有値は1/√2であり正であるから
与行列は正値である
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この回答へのお礼

遅くなりましたが、回答ありがとうございました。
今回は二次でしたので、xをx1,x2として計算しSがかならず正になる式だとしてこの問題に対して解答しました。

お礼日時:2011/06/25 10:34

ああ、そうか。


エルミート行列は、(対角でない限り)非対称ですね。
これは一本取られた。
行列の正値性は、対称行列ではなく、
エルミート行列に限って定義しなくては。
実エルミートなら、対称ですからね。

しかし、依然として、
非エルミート行列を係数とする二次型式が正値であっても、
その行列を「正値行列」と呼ぶべきでないことは変わりません。
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この回答へのお礼

遅くなりましたが、回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/06/25 10:34

二次形式を、一旦二次多項式に展開してから、


対称行列を係数に持つように書き直せば、
二次形式が正値か否かは議論できます。
axx+bxy+cyy なら、
a b/2
b/2 c
を係数行列とすればいい。
実対称行列の固有値は実数だけですから、
書き直した行列の固有値に虚数は出てきません。
その固有値が全て正であることが二次形式が正値であることの、
正と 0 であることが半正値であることの、必要十分条件です。

しかし、非対称行列 A を係数とする二次形式が正値だったとしても、
A 自身が正でない固有値を持つ場合、
「行列 A が正値」とは言いません。
ただ「二次形式 xAx が正値」であるだけです。
両者は異なる話です。
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nを2以上の整数とし


Aをn次実行列とし
xをn次実列ベクトルとする
(任意の行列XについてX^TをXの転置とする)
零ベクトルでない任意のxについて
S=x^T・A・x
が正であるときAを正値であるという
S=(S+S^T)/2=x^T・(A+A^T)・x/2
であるから
Aが正値⇄(A+A^T)/2が正値
M=(A+A^T)/2
は実対称行列であるから
行列が正値であるかどうかを論ずるときには
実対称行列だけを議論の対象にすればよい

今回の場合
√2・M=
[1 0]
[0 1]
でありMの固有値は1/√2であり正であるから
与行列は正値である

nを2以上の整数とし
Aをn次エルミート行列とし
xをn次複素列ベクトルとする
(任意の行列XについてX^*をXの複素共役転置とする)
零ベクトルでない任意のxについて
S=x^*・A・x
が正であるときAを正値であるという
Aが正値⇄Aの実数部行列が正値
であることは簡単に示すことができる

以上まとめて
行列が正値であるかどうかを論ずるときには
エルミート行列や対称でない実正方行列を考えることは意味が無く
実対称行列だけを議論の対象にすればよい
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nを整数とし


Aをn次実行列とし
xを実列ベクトルとする
(*^Tを*の転置とする)
零ベクトルでない任意のxについて
S=x^T・A・x
が正であるときAを正値であるという
S=(S+S^T)/2=x^T・(A+A^T)・x/2
であるから
Aが正値⇄(A+A^T)/2が正値
M=(A+A^T)/2
は実対称行列であるから
行列が正値であるかどうかを論ずるときには
実対称行列だけを議論の対象にすればよい

今回の場合
√2・M=
[1 0]
[0 1]

でありMの固有値は1/√2であり正であるから
与行列は正値である
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その本で「正定値行列は固有値が全て正」としているなら, その行列は「正定値じゃない」ということになるのではないかなぁ.



もちろん, 「実は問題が間違っている」という可能性もある.
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Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

Q固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

( -7 -5 )
( 13 9 )

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らしいのですが、証明法が思いつきません。
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NO.1です。
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とのことですが、
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よろしくお願いします。
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よろしくお願いします。

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★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。)

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう?
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて1になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます.

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n...続きを読む

Q線形代数の部分空間(行空間、列空間、零空間)がわかりません。

Aの行空間、Aの零空間、Aの列空間、Aの転置の零空間がよくわかりません。

たとえばx、y、z座標において、どのような空間になるのか理解出来ません
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Aの零空間までは下の説明で良いのですが、行空間の部分を訂正させていただきます。Aの行空間を作る横ベクトルをd,e,fとし内積を(,)とすると Au の成分は (d,u), (e,u), (f,u) となります。すなわちuのd,e,f方向への射影となります。d,e,fのうち一次独立なものが二つしかないときuの成分x,y,zをいろいろ変化させるとAuは一つの平面になります。この平面に垂直なベクトルの集合がAの転置行列の零空間です。これはAの余核(Cokernel)と呼ばれています。

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3x3行列の固有値の求め方

( 4 1 -4 )
( 3 4 -6 )
( 2 1 -2 )

の固有値の求め方ってどうやるんでしょうか?

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↑までは公式みたいな感じだと思いますがこれでは答えは違うみたいです
お願いします。

Aベストアンサー

-12 由来が解らないなぁ。

固有値は、行列
  4-λ  1   -4
  3   4-λ  -6
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の行列式が =0 になればよいです。

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という λ の三次方程式を解けばよい。

Q中に出さなくても妊娠する人結構いますか?

中に出さなくても妊娠する人って結構いますか? 避妊しず外で出した場合

Aベストアンサー

100組の妊娠可能な健康な男女(不妊などではない)が1年間排卵日付近にセックスした場合、膣外射精では約19人の女性が妊娠します。

生挿入の中だしはもちろん、いわゆる安全日でも、外だしでも、少しだけしか挿入していなくても、コンドームをしていても、したあと膣を洗っても、
  『 セックスをすれば、いつでも、妊娠する可能性はあります 』
挿入しなくても、精液やカウパー腺液(がまん汁)のついた手で女性器を触れば、妊娠する可能性があります。
他回答者様で「一滴も漏らさなければOK」との回答がありましたが、そんなことはありません。
生殖器内に前回射精をした際の精子が残っていたり、微量の精子が漏れ出して、カウパー腺液に混じる場合があり。
その場合は、その時の性行為では精液を一滴も漏らしていなくても、妊娠する可能性があります。
性行為をして、妊娠の可能性を0%にすることは、できません。
ちなみに、10代の女性が妊娠した場合、妊娠出産が原因で死亡する確率は、20~30代女性の5倍です。

数字で言えば、コンドームを普通に使って100組の妊娠可能な健康な男女が1年間排卵日付近にセックスした場合、だいたい3~14人の女性が『妊娠します』
コンドームは元々あまり避妊確率が良くない上に、理想的な使用方法を知っている人は少なく、間違った保管方法や使い方で避妊確率を下げてしまいやすいのでこのような数字になります。
使い方等の知識をもち理想的に使った場合で約3人。
知識がなく財布など目に見えない微細な傷がつきやすい場所に保管し、サイズが合っていなかったり、実はきちんと装着できていなかったり、途中から使ったりした場合で14人。ということです。
 (コンドームの使用法解説例 http://www.jfshm.org/std/condom/men/index.html)

「低用量ピル」という産婦人科で月2000~3000円ほどで処方してもらえる避妊薬を女性が毎日飲むと、同じ条件でだいたい0.1人が妊娠します。
コンドームとピルは、確率が2桁違い、ピルはより避妊効果の高い避妊方法と言えます。

「妊娠したら困る」という女性が性行為をする場合には、ピルの服用を強くおすすめします。未成年でも親にバレずに処方して貰えます。
(ピルには「気持ち悪くなる」等の副作用がありますが、いくつも種類があり、自分の体質に合った種類のピルを飲めば悪い副作用は最低限になり、かえってお肌がツルツルになる生理痛が軽くなるなどの良い副作用もありますので。
処方して貰ったピルが合わないと感じた時は、産科医に相談して種類を変えて貰いましょう。)

なお、ピルを服用した上で、性感染症や子宮頸ガンなど「性行為による感染で発症する病気」の予防の為、また妊娠確率を更に下げる為に、コンドームを併用する事をオススメします。
生でセックスすると、女性はガンになりやすくなります!
(子宮頸がんは不特定多数とのセックスが原因だというデマもありますが、1人の人と1回しかセックスしていなくても、生で挿入すれば可能性はあります。)

避妊しないでセックスしてしまった、コンドームが破れたなどの場合には、72時間以内(なるべく早いほうが効果が高い)に産婦人科で「モーニングアフターピル(緊急避妊薬)」というのを処方してもらって飲むと、妊娠する確率を大きく下げられます。
ただし、毎日低用量ピルを飲むよりも避妊確率は低いですし、かつ副作用も大きく、値段も高くなりますので、あくまでも緊急用ですけど。

妊娠を希望しない場合、きちんと知識を得てしっかり避妊してください。

避妊について:
http://www.jfpa-clinic.org/
http://www.hinin.info/
http://children.nemachinotsuki.com/love.html

ピルについて:
http://finedays.org/pill/

100組の妊娠可能な健康な男女(不妊などではない)が1年間排卵日付近にセックスした場合、膣外射精では約19人の女性が妊娠します。

生挿入の中だしはもちろん、いわゆる安全日でも、外だしでも、少しだけしか挿入していなくても、コンドームをしていても、したあと膣を洗っても、
  『 セックスをすれば、いつでも、妊娠する可能性はあります 』
挿入しなくても、精液やカウパー腺液(がまん汁)のついた手で女性器を触れば、妊娠する可能性があります。
他回答者様で「一滴も漏らさなければOK」との回答があり...続きを読む

Qエルミート行列の固有値

エルミート行列の固有値は必ず実数になることはどうやって示せますか。

Aベストアンサー

どこの教科書にも載ってるような話だけど、
本で調べなかったの?

行列 A の転置共役を A* と書くことにする。
行列 H がエルミートであるとは、H* = H のこと。

H の固有値 λ に属する固有ベクトルを x と置く。
(x*)Hx = (x*)(Hx) = (x*)λx = λ(x*)x.
また、
(x*)Hx = (x*)(H*)x = ((Hx)*)x = ((λx)*)x = (λ*)(x*)x.
固有ベクトル x は零ベクトルではないから、
λ(x*)x = (λ*)(x*)x の両辺を (x*)x で割って、
λ = λ*. これは、λ の共役が λ と等しいこと、
つまり、λ が実数であることを示している。

Q複素固有値問題について

固有値問題についてわからなくなってしまったのでアドバイス宜しくお願いします。

基本はAx=λx--(1)
の様なシステムが固有値問題で共振するとxは限りなく増幅され、系は破壊されると理解していました。しかし通常のマス-バネ-ダンパシステムは
Mx・・+cx・+kx=f--(2)
となり、c=0(当然外力f=0)と仮定しない限り(1)の式になりません。従って通常の固有値解析ではc=0とすると思っていました。

(2)を解く為に、x=Ce^λtとおいて特性方程式を出し、それの解をタイプ分けしてクリティカル、オーバー、アンダーダンピングと分類する方法は理解できます。結果それが複素固有値解析と呼ばれているかと思うのですが、ダンピングのある系は減衰する為、固有値問題特有の共振という概念をどう適用すればよいかわかず、複素固有値解析という名称に違和感を感じております。ただの微分方程式の一般解の一部であると思うのですが・・・。どなたかアドバイス頂ければ幸いです。

Aベストアンサー

固有値解析をするときにはf=0としますが、c=0とはしないかと思います。c=0 としてしまうとシステムの特性が変わってしまうので。
ダンピングがある系でも、固有値の虚部に相当する周波数を入力した場合には他の周波数の場合と比べて、出力は大きくなり、共振現象は現れます。


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