サイコロを投げたとき一つの面が出る確率は1/6です。
ではトイレットペーパーの芯を投げて立つ確率はどの程度でしょうか?

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A 回答 (6件)

 たとえば立方体ではない直方体のサイコロですら,どの面が出るかの計算はできず,実験してみるしかない.その実験も,どんな材料で作ったサイコロで,どんな投げ方をし,床面がどんな物理特性を持っているか,によってまるで結果が変わることでしょう.


 ところが,正多面体のサイコロならば,「どんな跳ね返り方をしようと,どんな転がり方をしようと,とにかく対称なのだから,よく振ってから投げればどの面も出る確率は同じ」という議論が成り立ってしまう.つまり,正多面体のサイコロは,あらゆる条件の違いが無視できてしまうという極めて特殊な性質を持っているのです.

 なので,トイレットペーパーの芯に関しても,「ある特定の条件下で実験したらこうなった.(でも条件を変えたら結果は変わるだろう)」ということしか言えない.
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この回答へのお礼

様々な条件が絡んでいるので一概に値としてどの程度かは算出できない。
非常にスマートな回答だと思いましたのでBAにさせて頂きます。
ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/09/17 23:57

空中でトイレットペーパーの芯をもち、その芯の2つの底面である円の中心同士を結んだ直線lを考え、lの向きが変わらないように地面に降ろしてそれが立つかどうか、と考えることにします。



lを含む平面Vを考えます。

2つの底面の中心と中心を結ぶ線分の中点を中心にして、回転軸がlに垂直でかつVに含まれるような回転を芯に施すと、Vと底面の2円との交点が丁度1点ずつになるような角度θに達します。

そのとき丁度芯はVによって面積が二等分される位置に来ているので、回転角φについて、0≦φ<θ、π-θ<φ<π+θ、2π-θ<φ≦2πのとき「芯が立つ」とみなし、θ<φ<π-θ、π+θ<φ<2π-θのとき芯は立たないとみなせます。

芯の中心に対する底面の一つの中心部分が動くときの球面上一様に確率が分布すると仮定すると、「芯が立つ」確率はその球面上の面積比を考えて(2π(1-cosθ)*2)/(4π)=1-cosθであると考えられます。

2番さんの資料によると、114/38=tan(π/2-θ)となるので、1-cosθ≒0.0513となって、20回に1回弱くらいということになります。

そっと置いた場合に比べて、投げた場合は何度か跳ね返ります。跳ねているうちに勢いがなくなってきて、あるときに立てなければその次に立てるほど勢いがないという場合を考えると、そっと置くより確率はうんと低くなるでしょうね。
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この回答へのお礼

芯の底面を地面に向けてそっと離した場合でさえ、1/20弱なんですね。
それこそ適当に投げてここ最近2回も立ったので、実はものすごい
低い確率の事象が起きたかもしれないですね。
ご回答ありがとうございます。

お礼日時:2011/09/17 23:51

実際に自分が行った結果です


aは立ったとき、bは立たなかったときです(実際には床の素材によりある程度異なる場合があります)
1,b
2,b
3,b
4,b
5,b
6,b
7,b
8,b
9,b
10,b
11,b
12,b
13,b
14,b
15,b
16,b
17,b
18,b
19,b
20,b
.
.
bが続く . . .
.
.
129,a
129回目にしてやっと立ちました

結論 トイレットペーパーの芯を投げたときに、芯が立つ確率は1/129である
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この回答へのお礼

私の質問に答えるために試行頂き、ありがとうございます。
129回も投げるのは大変だったと存じます。
時間を取って頂き、申し訳ありません。
私の感覚的には1%以下かもしれないというイメージがあったので、
その感覚には近いものがあります。

お礼日時:2011/09/17 23:46

実際にあなたが 1000 回くらい投げてみたら大体の確率が分かると思います。

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この回答へのお礼

おっしゃる通りですね。
ここ最近トイレットペーパーを補充する際、
適当に芯を投げてみたのですが、
5回中2回ぐらい立ったので、こんな確率が
高いはずないと思い、質問させて頂きました。

お礼日時:2011/09/17 23:41

ヒントしか提供できない・・


JIS 規格番号 P4501 トイレットペーパー

http://www.jisc.go.jp/
JISC、日本工業標準調査会(審議機関)のサイトで
JISの番号で検索、PDF参照モード限定で表示できます。

厚紙部分の巻き芯、規定は内径38mm、縦長さ114mm。
これで縦回転に投げ、中心にしかない重心が内径範囲に留まる
加速度以下で立ち上がる確率を出してから、
恐らくその程度の許容倒れ角度で立ち上がる確率で絞り込む。

立てるつもりで投げる競技なら、2分の一は出せるでしょう。
数学的にどうか、となると、立ちそうな倒れ角度が少ないから
そこまで行けばいい事にして向こうに行く加速度を取らない。
でも、早く飛べば斜めに飛んだ向こうで立ちそうだしね。

厚紙自体の重さは関わってきますが、規定はありません。
そのまま拭く紙に湿りを与えるなど加工して固めてる商品は目撃。
この場合重心と切断面真円が均一と保証できず、もっと低い。
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この回答へのお礼

立てるつもりで投げても1/2は厳しいような気がしますが…
ご回答ありがとうございます。

お礼日時:2011/09/17 23:37

1/2

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この回答へのお礼

1/2で立てることができれば良いのですが…
ご回答ありがとうございます。

お礼日時:2011/09/17 23:30

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