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中学生にもわかるように説明してくだされば幸いです。
色々調べたのですが、よくわからなくて、、
以下の認識で合ってますか?

認識:近似値や測定値を表す数字のうち,実用上有意義な桁数だけとった数字。
また、「有効桁数」とは、有効数字の桁数のこと。

例えば、1.2345という数字があったとしたら、実用上有意義な桁数が3なら、有効数字は1.23で、有効桁数は3桁。

また、0の処理については以下の通り。

0ではない数字に挟まれた0は有効である。例えば、

60.8 は有効数字3桁である。
39008 は有効数字5桁である。
0ではない数字より前に0がある場合、その0は有効ではない。例えば、

0.093827 は有効数字5桁である。
0.0008 は有効数字1桁である。
0.012 は有効数字2桁である。
小数点より右にある0は有効である。例えば、

35.00 は有効数字4桁である。
8 000.000000 は有効数字10桁である。

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A 回答 (5件)

こんばんは、はじめまして。



有効数字、確かによくわからない考え方ですよね。
(私も習った当初はちんぷんかんぷんでした)

そもそも、
「有効数字とはどんな時に使う物なのか?」とか、
「有効数字は何のために考えるのか?」がわからないと、
ただ、「考えるのがとても厄介なよくわからない数字」になってしまうと思います。

という事で、有効数字の利用例を1つだけ。
分かりやすい所で、両端に丸い棒が立った、H型の鉄棒の幅を計る事にしてみましょう。

両端の丸い棒は、30cmものさし(mmの目盛りあり)で太さを調べてみると4.8cm
間の鉄棒の部分は、1cm単位の巻尺(mmの目盛りなし)で長さを調べて85cm
さて、鉄棒の端から端までの幅はいくつなのかを考えます。

両端の丸い棒は左右で2本あるので、計算式は
(4.8cm)×2 + 85cm = 9.6cm + 85cm = 94.6cm
になりますが、この"94.6cm"って、どこまで信用できる良い数字ですか?

両端の丸い棒は、mmの目盛りがある30cmものさしで調べたので、0.1cm単位で正しいです。
でも、間の鉄棒の部分は、1cm単位の巻尺(mmの目盛りなし)で調べているので、1cm単位までしか分かっていませんよね?
おそらく、84.5cm~85.4cmの間なら、"だいたい85cm"になってしまう。
この場合、鉄棒の幅は"94.6cm"と言い切ってしまって良い物でしょうか?

1cm単位で調べた物がある以上は、その合計の幅の94.6cmも1cm単位までしか正確ではない。
と言う事は、この94.6cmの有効数字は2桁。6を四捨五入して約95cmとすれば確実です。

確か、中学校(?)で出てきた有効数字とはイメージがだいぶ異なると思いますが、実用例が頭に入っていると理解の度合いも変わってくるのではないでしょうか?
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> 計算式は (4.8cm)×2 + 85cm = 9.6cm + 85cm = 94.6cm


> になりますが、この "94.6cm" って、どこまで信用できる良い数字ですか?

"4.8cm" が 4.8±0.1cm、"85cm" が 85±1cm であれば、
(4.8cm)×2 + 85cm は 94.6±1.2cm。93.4~95.8cm だ。
それに対し "95cm" は 95±1cm だから、
(4.8cm)×2 + 85cm = 9.5cm では確実でない。
もし、真値が 93.45cm だったら何とする?

これが、「有効数字」が有効でない実例だ。
「実用上有意義」すなわち「だいたいこんなもん」という言い方が
言いえて妙な理由でもある。
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学校教育で「有効数字」と呼ばれるものには、


ふたつの考えが混ざってしまっている。
ひとつは、近似値について、
並べた数字の一番右の桁が±1以内の誤差を含む
ように表示する桁数を調節するということ。
理科(化学、物理)の教科書には、
測定値の読み取りと表記に関して
そのことが書いてある。
ふたつめは、概数の計算について、
足算引算では末位を大きいほうに揃え、
掛算割算では桁数を少ないほうに揃えるということ。
こちらは、算数の教科書にでてくるが、
理科の計算で多用される。

測定を丸めた結果も、計算を丸めた結果も、
どちらも同じ「有効数字」と呼んでしまう
ことには大きな問題がある。
上記ふたつめのルールで計算を行うと、
ひとつめの意味での精度が保たれないからだ。
例えば、1.2 + 3.4 の答えは 4.6 になるが、
1.2 が 1.2 ± 0.1 を 3.4 が 3.4 ± 0.1 を表す
とすれば、1.2 + 3.4 は 4.6 ± 0.2 になる訳で、
黙って 4.6 と書いたときの範囲 4.6 ± 0.1 を
はみ出してしまっている。

有効数字は、文字通り「有効」な数字ではなく、
当たらずとも遠からずな、「実用上」有効と
扱われる数字で、近似値の慣習的な目安
と考えるほうが無難だろう。
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有効数字の意味です 基本概念



0.1 とあれば一般に小数点2桁目を四捨五入してることを示します
0.14~0.05 のどれかであれば小数点2桁目を四捨五入すれば0.1に成ります

とろこが

0.10 と有効数字が1桁増えると意味が違ってきます
小数点3桁目を四捨五入してることを示します
したがって0.104~0.095 と範囲があり得るってことです


0.1 ⇒0.14~0.05(どれか
0.10⇒0.104~0.095(どれか
て意味です

従って示している範囲の違いが判ると思います

これが有効桁数の意味なんです

0.1と0.10の有効桁数違いが理解できたと思います

すなわち誤差の範囲表しているのです

0.1と0.10では10倍誤差の範囲が広いってことです

これが理解できなけらば・・・駄目です

基本をまず抑えて下さい



   
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> 0ではない数字より前に0がある場合、その0は有効ではない。

…(☆)

>例えば、
> 0.093827 は有効数字5桁である。
> 0.0008 は有効数字1桁である。
> 0.012 は有効数字2桁である。

> 小数点より右にある0は有効である。…(★)

>例えば、
>35.00 は有効数字4桁である。
この例は当てはまりますが この(★)は(☆)の記述と相容れません。
(☆)の下の例が
ここの(★)の記述に該当しますが「有効でない」ので矛盾します。
(★)の記述は修正が必要でしょう。

他の記述は問題ないと思います。

有効桁数についての記述は
四則演算や√、三角関数、log、指数関数などその他の関数の計算結果の有効桁数や桁落ちなどについても言及しないと不十分かと思います。

・加減算における有効桁数の桁落ち
  例)123.54-123.52=0.02 (有効桁数は1桁)
・乗除算や自乗演算における見かけ上の有効桁数の増加の問題
  23.45*46.93=1100.5085 (実際の有効桁数は4桁)
・有効桁数の異なる数値間の演算結果の有効桁数は最も少ないものに合わせる問題    
  例)12.5+1.04985=13.5  (小数点の位置を合わせて少ない方の有効桁数に合わせる)
・先頭のゼロでない桁が1の場合と9の場合の問題
  例)1.000と0.999 (どちらも実質上の有効桁数は3桁)
・根号の中と根号をとった後の有効桁数の問題
  例) √42.25=6.5  (√内が有効桁数4、計算した右辺の有効桁数は2)
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Q有効数字が全くわかりません。 わかりやすく教えいただけませんか。

有効数字が全くわかりません。
わかりやすく教えいただけませんか。

Aベストアンサー

化学で出てくる有効数字に関しては、下記のベネッセのHPがわかりやすいと思いますよ。

http://kou.benesse.co.jp/nigate/science/a13q05bb01.html

Q有効数字とは?

有効数字って何ですか?

学校のワークをやっていたら、急に習ったことの無い
『有効数字』という言葉が出てきました。


どのサイトも書いてあることが難しくて分かりません。

ちなみに、私は中三なので、中三が分かるくらいの
文章でお願いします。

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 『有効数字』はH21年度から中1数学に移行措置で追加されたものです。
 ですので、質問者さんが新中3年生でしたら、中1数学 移行措置用のテキストに書かれていると思いますよ。
 (単元名は教科書によって異なると思いますが、「資料の活用」などという単元の中に書かれていると思います。)
http://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/youryou/ikou/008.pdf

 ちなみに、ネットにも分かりやすいものがありますよ。
http://www.kyougaku-kenkyuusha.co.jp/pdf/ts1.pdf
 12頁、14頁の例題3(3)、16頁の類題3(3)を見て下さい。

Q12,45を有効数字2桁で表すとどうなるのでしょうか。回答よろしくお願いします

12,45を有効数字2桁で表すとどうなるのでしょうか。回答よろしくお願いします

Aベストアンサー

「12.45」ですか?

「有効数字2桁」にするときには、「3桁目を四捨五入」します。したがって

 12.45 ≒ 12

です。

Q0の有効数字

有効数字2桁の場合の「0」の表現は、「0」ですか?
それとも「0.0」ですか?

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0が理論上の値ではなく、計測値を表すのであれば、有効数字が2桁だと「0.0」と書きます、何故なら、
X≒0と書くと、 |X|<0.5   下1桁目は定まらず
X≒0.0と書くと、 |X|<0.05  下1桁目は必ず0 
X≒0.00と書くと、 |X|<0.005  下2桁目も0
小数点以下の0の数によって、Xの真値の範囲が違います。

Q有効数字について教えてください><

中3です。化学(今やってるのはmolとかそこらへんです)で有効数字というものがでてきたのですが具体的に有効数字とは何なのか教えてください><有効数字2桁とか3桁とか、違いが全くわかりません。5.0だと思ったら解答には5.00と書いていたり・・・。(しかもテストでは有効数字で書かないとバツにするっていうし・・・。有効数字の説明なんてほとんどしてないくせに。。。)例などを挙げて説明してくれたらうれしいです><

Aベストアンサー

中学3年でモルとはずいぶん先行して勉強していますね。
現状では高校3年で大学受験を意識するまでほとんどの学生が有効数字についてはてきと~にやっています。
問題集でも、きちんと有効数字を意識して作ってある問題はむしろ少ないです。
最近では「ただし、有効数字は2ケタとする」などと但し書きでごまかしてきます。

まあ、それはさておき、
今はまだ有効数字を問題から解読するのはまだ難しいでしょうから表記だけ理解してみましょう。

計算結果が次の値になったとき、有効数字を適用すると…
0.5
1.3
0.03
0.4456

有効数字2ケタの時
0.50
1.3
0.030
0.45
有効数字3ケタの時
0.500
1.30
0.0300
0.446

となります。規則性を考えてみてくださいね。
ケタが有効数字より多いときには四捨五入して解答します。

Q物理の有効数字2桁

今日、物理のテストがあり、答えを「有効数字2桁で答えよ。」と書いてありました。
答えが「62」の場合は「62」のままでいいのでしょうか?
また、答えが「2300」の場合は「2.3✖10^3」でいいのでしょうか?
答える方法が分からなくて、困ったので質問をしました。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

62は、有効数字が2桁です。明確にしたいときは62.と書く場合もあります。
2300は、有効数字が4桁であることを示していますから、誤りです。
  厳密には判断できない。
  この場合のように「結果を有効数字二桁で示しなさい」では誤りです。
  ポンと数字が示されたときは、判断が出来ません。もちろん2300.と書けば4桁

 23×10²、あるいは、2.3×10³と書きます。

 なお科学的記数法で記述すると、
6.2×10
2.3×10³
 先生によると、有効数字=科学的記数法(指数表記)と思われている方も多々見かけますので、
6.2×10
2.3×10³
が無難でしょうね。(^^)
 もし、62でダメといわれたら、
・0ではない数字より左に0がある場合、その0は有効桁数に含まれない。
  0.000062 は有効数字2桁
・小数点より右の0は有効数字の桁数に含まれる
  62.0 の0は含まれて、3桁
というルールを示す。
 ⇒有効数字 - Wikipedia( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E5%8A%B9%E6%95%B0%E5%AD%97 )

62は、有効数字が2桁です。明確にしたいときは62.と書く場合もあります。
2300は、有効数字が4桁であることを示していますから、誤りです。
  厳密には判断できない。
  この場合のように「結果を有効数字二桁で示しなさい」では誤りです。
  ポンと数字が示されたときは、判断が出来ません。もちろん2300.と書けば4桁

 23×10²、あるいは、2.3×10³と書きます。

 なお科学的記数法で記述すると、
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Q有効数字(中学1年 東京書籍)

東京書籍 新しい数学 1年 プラス22のp38に
「ある品物の重さを最小の目もりが10gであるはかりではかったところ、1370gだった。この測定値は十の位未満を四捨五入したものである。したがって、この品物の重さは丁度1370gであるというわけではない。つまり、1370の千、百、十の位の1、3、7は信頼できるが一の位の0はたんに位を示しているだけで信頼できない。近似値を表す数字のうち、例のように1,3、7のように、信頼できる数字を有効数字という。」とあります。しかし、

7は四捨五入して6が7になる時もあるので、(実際は、1369gだった時ののように)1、3が有効数字で、7は違うと思うのですが?
まさか、教科書が間違うわけないと思うのですが・・・

Aベストアンサー

十の位未満を四捨五入して、1370gになった、ということは、アナログのはかりの場合なら…

針は、必ず、1360gと1380gの間にあって、3つの目盛り・1360g,1370g,1380gのうち、1370gに一番近かった、だから、どのくらいという代表の値としては、一番近い、1370gを選んだ、

というような意味になります。

デジタルのはかりで、1367.8gと出たときでも、何か1g単位までは信用できないなぁ、と思ったとき、十の位の6を信頼して、約1360gというより、もっと近い約1370gという方が、もっとアテにできる気がするでしょう?もっと、極端なケースで、1369.8gなんて出た場合には、十の位の6なんか、アテにできるのか?本当は、1370.2gかもしれなし、という気がしませんか?

そういう意味で、十の位の「アテになる」値として、7を使い、それを「信頼できる数字」というふうに呼んでいて、この「数字」は、デジタルのはかりで表示された「数字」とは別のものなので、そこを気を付けてください。

ただ、四捨五入の場合、ピッタリ真ん中だと、どっちに近いと言えないんじゃないの、という問題があり、本当にそうなると、悩ましいのですが、モノの計測をやっていて、本当のピッタリ真ん中なんて、滅多にあるものじゃない、と決めて(実際にそうなのですが)、扱いやすさを考え、(ピッタリ真ん中の場合も含め)5が出たら、切り上げということにしてあります。こういうと、何かいい加減みたいですが、よほど特殊な場合でなければ、それが元で問題が起こることはありません。

十の位未満を四捨五入して、1370gになった、ということは、アナログのはかりの場合なら…

針は、必ず、1360gと1380gの間にあって、3つの目盛り・1360g,1370g,1380gのうち、1370gに一番近かった、だから、どのくらいという代表の値としては、一番近い、1370gを選んだ、

というような意味になります。

デジタルのはかりで、1367.8gと出たときでも、何か1g単位までは信用できないなぁ、と思ったとき、十の位の6を信頼して、約1360gというより、もっと近い約1370gという方が、もっとアテにできる気がするでしょう?...続きを読む

Q【高校化学】有効数字の指定が無い問題

【高校化学】有効数字の指定が無い問題

化学の問題などで、答えの有効数字の指定が無い場合がよくあります。
私は小数点以上は上から四桁目を四捨五入、小数点以下は小数以下3桁目を四捨五入で計算しています。

567865465.2255222… →5.68×10^8
21.555555555… → 21.56
1.64233335… → 1.64

しかしこの前、1.111111111…molというのを1.11molとして計算したら問題集の答えと0.001ずれてしまいました。解説では0.111として計算したみたいです。
こういう計算であっているときもあれば、微妙にずれているときも多々あります。
ほんのわずかなズレですが、なんだか気になってしまいます。
さらに計算が続けばもっとズレてしまいそうですし…

特に21.5555…や21.44444など、5や4を四捨五入するのにちょっとためらいます…

私のやりかたはあっているでしょうか?
入試ではさすがにバツになりませんよね?

ご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

気になるところがあります。

>化学の問題などで、答えの有効数字の指定が無い場合がよくあります。

有効数字を考慮しなければいけない時というのは指定されている時だけではありません。
基本的には測定を前提とした数字を扱う問題では常に考慮すべきものなのです。
すべての問題で考慮されなければいけないものです。
答えの有効数字の桁数は与えられている数値の桁数で決まってしまうはずです。
掛け算、割り算については桁数の最小の数値が結果の数値の精度を決めます。そのことを踏まえると途中の演算で出てくる数値の桁数をある桁数以下に抑えながら計算してもかまわないということが出てきます。掛け算は繰り返すと桁数が増えます。3桁×3桁であれば6桁でてきます。四捨五入の影響を押さえるということであっても途中の結果は4桁で十分であるということです。電卓を使ってもいいというのであればともかく手計算で4桁の計算を繰り返すというのは実際上は無理です。あえて結果は2桁でいいという指定が入る時があります。これだと途中は3桁の計算で済みます。有効数字の桁数の指定というのは本来はこういう場合しかないはずです。

ただ「?」のつく問題を目にすることがあるというのは事実です。
 問題に指定されている数値から判断すると2桁の精度しかないはずなのに「3桁で答えよ」というように、答えの有効数字が指定されているのにその材料となる数字がその有効数字の桁数を出すのに十分ではないという問題があるのです。
 有効数字の意味がよく理解されていないという背景があるようです。
(1)物理や化学での「有効数字」は測定値を前提とした数字の信頼性についてのものです。誤差論を背景にしたものですから歴史は古いです。
ところが一方で有効数字は、数字の表記上の問題であるという理解も存在します。
あなたが書かれている有効数字の扱いはどちらかと言えば後者です。
JISの規格に載っている有効数字も後者です。コンピュータの内部での数値処理などにからんでいると思いますので数値計算の本には出てきます。測定は前提になっていません。
有効数字の扱いに慣れていない人が「有効数字とは何か」を知ろうと思ってJISの記述を調べると後者の意味の有効数字を有効数字だと思い込んでしまうことになります。「法律で決まっているからこれで正しいはずだ」と思い込んでしまいますから始末が悪いです。

(2)掛け算、割り算の時の規則と、足し算、引き算の時の規則がごっちゃになっているのではないかと思われるものも目につきます。

(3)桁数の多い数字を使った計算が高度な計算であるという思い込みもあるようです。
桁数の多い数字を出している回答があるのをよく見ます。私は5桁以上の数字を出して説明している回答は基本的に信用しないことにしています。 5桁の数字が必要になるような場面はめったにありません。桁数の多い数値には条件や仮定が付いてきます。必要のない場面で桁数の多い数字を出してくれば分かっていないと思われても仕方がないのです。

(4)測定を前提としていますので問題の中に出てくる数字は測定可能な値であると考えるのが筋です。
桁数だけを増やす目的で後ろに0をつけている問題がありますが無意味です。

重力の加速度は9.8」m/s^2で普通与えられます。
ある大学の化学の問題に「重力の加速度の値は9.800m/s^2であるとする」というのがありました。
ナンセンスな設定です。これで4桁の計算を要求されると受験生はたまりません。


>私は小数点以上は上から四桁目を四捨五入、小数点以下は小数以下3桁目を四捨五入で計算しています。

有効数字の桁数は小数点の位置とは関係がありません。
小数点の上と下で扱いを変えるという根拠もありません。

気になるところがあります。

>化学の問題などで、答えの有効数字の指定が無い場合がよくあります。

有効数字を考慮しなければいけない時というのは指定されている時だけではありません。
基本的には測定を前提とした数字を扱う問題では常に考慮すべきものなのです。
すべての問題で考慮されなければいけないものです。
答えの有効数字の桁数は与えられている数値の桁数で決まってしまうはずです。
掛け算、割り算については桁数の最小の数値が結果の数値の精度を決めます。そのことを踏まえると途中の演算で出...続きを読む

Q面積を表す文字になぜSをつかうことが多いのか

タイトルどおりの質問です。職場で突然、話題になりました。現在、スクエアの頭文字では、という意見が優勢です。いろいろな説があるのかもしれませんが、「何々では」という予想ではなく、それなりに根拠がある由来をご存知の方、ぜひ教えてください。

Aベストアンサー

No4.の補足です。

歴史的な経緯からすると、繰り返しになりますが、和を表すsumあるいはsummationの頭文字をとったものというのが、数学界での定説です。

同様の見解は、次のURLにも出ています。
三重大学で作った解析学のホームページ内の掲示板での質疑です。
そのものズバリの質問と回答が載っています。
http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/keiji04/k_result.htm

そもそも曲線図形の面積を求める方法には2つあります。
(たとえば、野崎昭弘他著「微分・積分の意味がわかる」ベレ出版,2000年,p114参照)

1つは原始的な方法で、既にアルキメデスの時代から知られている、
「図形を細かく分けて、直線で囲む形にして近似し、足し合わせる」という、いわゆる区分求積法です。

この足し合わせるという語は、英語などではsumとかsummationといいます。
そして、後述するライプニッツおよびニュートンによる微積分学以降、
離散量あるいは有限個のものの和を表すのに、この頭文字Sに対応するギリシャ語のアルファベットΣが使われ、
「一つ一つの分割をS1,S2,S3,・・・とおけば、全体の面積S=ΣSi」
という数学記法上の慣習として広まったものです。

つまり、Sを、sumあるいはsummationの頭文字であるとする根拠がここにあります。そして、今では、曲線図形でない場合でも広く一般的に、図形の面積を表すのにSは利用されています。もちろん、面積をSとおくというのは、規則でも強制でもありません。

さて、もう1つ、曲線図形の面積を求める現代的な方法は、積分を使う方法です。
これは、上記のS=ΣSiという表現式で、i=1,2,・・・という分割を無限に続けたときの極限値をもって、その図形の面積とするというものです。
その場合、極限値が存在するなら、各Siは、連続量S(x)に書き換えられて、S=∫S(x)dxと表現されます。
そして、この積分記号(インテグラル記号∫)は、ライプニッツの提案によるもので、
離散量の和の記号Σに対応して、連続量の和として、これまた和を意味するSを縦に伸ばした、イメージ的にも優れた記号と言えます。この事実は、
たとえば、ホームページでは
http://www.nikonet.or.jp/spring/integral/print3.htm
書籍では、
船山良三「身近な数学の歴史」東洋書店,1991,pp.308-313.
などでも述べられています。

ところで、面積がSで表されている場合、書き手によっては、ある「領域(sphere)」の面積を表すという意味で、sphereの頭文字Sを使ったということはあり得ることです。
しかし、残念ながら、squareやsurfaceの頭文字であるとするのは、特別の場合を除いて可能性は低いと考えられます。

一般に、数学の文献では、
「面積」には、通常areaを使います。また、四角形の面積には area of square を、円柱の側面積には surface atea of cylinder を使います。つまり、squareは四角、surfaceは曲面の意味です。
これらは、文献では、
William Dunham"The Mathematical Universe",Wiley,1994.
ホームページでは、
http://www.communicatejapan.gr.jp/yuki/algebra/wordsbook.htm
http://www.monjunet.ne.jp/PT/sampo/006.htm
などでも示されています。

以上、補足です。

No4.の補足です。

歴史的な経緯からすると、繰り返しになりますが、和を表すsumあるいはsummationの頭文字をとったものというのが、数学界での定説です。

同様の見解は、次のURLにも出ています。
三重大学で作った解析学のホームページ内の掲示板での質疑です。
そのものズバリの質問と回答が載っています。
http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/keiji04/k_result.htm

そもそも曲線図形の面積を求める方法には2つあります。
(たとえば、野崎昭弘他著「微分・積分の意味がわかる」ベレ出版,2000年...続きを読む

Q有効数字が指定された測定値はなぜ整数部分が一桁の小数と10の累乗との積の形で表すのですか?

有効数字が指定された測定値はなぜ整数部分が一桁の小数と10の累乗との積の形で表すのですか?

Aベストアンサー

1200と書いたら、有効な桁が4桁だと勘違いしてしまう。
1.2×10³と書いたら、有効な桁が2桁で有る事が解る。


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