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長軸、短軸、傾きが判っている楕円形の任意の角度の半径を求める式をさがしております。

長軸をa、短軸をb、傾きはとりあえず0°の半径があったとき、たとえば傾き30°方向の半径を求めるにはどのようにすれば求まるのでしょうか?

どなたかご教授頂けると非常に助かります。

A 回答 (6件)

ご質問の趣旨は、添付した図のように楕円の中心が原点Oと、楕円の長軸・短軸がx軸・y軸とそれぞれ一致するように座標軸をとり、原点を通りx軸となす角がθの直線と楕円の交点をP、QとするときOPの長さを求めたいというように理解してよろしいでしょうか。



ここでは長軸とx軸が一致するような横長の楕円を考えてみました。(グラフはa=3,b=2でθ=30度の場合です)

楕円の式は (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 …(1)ただしa>b
原点を通りx軸となす角がθの直線の式は、θ=が90度の奇数倍のときを除いて
      y=xtanθ …(2)

(2)を(1)へ代入してx^2,y^2についてとくと(以下tan^2θは(tanθ)^2の意味です)

x^2=a^2b^2/(a^2tan^2θ+b^2)
y^2=a^2b^2tan^2θ/(a^2tan^2θ+b^2)

したがって求める楕円の半径(?)OPは
OP=√(x^2+y^2)
=√(a^2b^2(1+tan^θ)/(a^2tan^2θ+b^2)

1+tan^2θ=1/cos^2θやtanθ=sinθ/cosθを代入して整理すれば

OP=ab/√(a^2sin^2θ+b^2cos^2θ) …(3)

θ=30度ならばOP=2ab/√(a^2+3b^2)

なおθが90度の奇数倍のときは直線の式の(2)は成り立ちませんが、
OPは楕円の短半径bとなり、OPの式(3)はこの場合も正しい結果を与えます。
「楕円の半径の求め方」の回答画像5
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この回答へのお礼

図まで入った丁寧なご説明ありがとうございます!

式の丸暗記のみではなく、導出についても勉強させて頂きます。

お礼日時:2011/11/25 09:28

ANo.3です。


>(acosθ,bsinθ)=(rcosφ,rsinφ)の式で、θはこの場合、何を示す変数でしょうか?
楕円上の点Q(acosθ,bsinθ)とします。
楕円を短軸方向にa/b倍に拡大すると半径aの円になりますが、点Qは円上の点P(acosθ,asinθ)に移動します。楕円の中心を点OとするとθはOPと長軸がなす角になります。
下記URLの(2)にこの関係を表した図がありますので、併せてご覧になるとよいと思います。
http://www.cfv21.com/math/quadcvparam.htm
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中心を極として、長軸を0°、短軸を90°とする楕円の極方程式は


 r=ab/√(b^2+(a^2-b^2)sin^2(t)) 
ただし、tは角度、 rは半径です。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

No.3のHar-mo-nizeさまの式とも併せ、計算結果が同じになることを確認しました。

おかげさまで作業が前に進んでおります。大変助かりました。

お礼日時:2011/11/25 09:26

中心が原点にあって長軸がx軸上にある楕円上の点は、媒介変数を使って


(acosθ,bsinθ)=(rcosφ,rsinφ)
の2通りに表せます。このときφが求めたい「半径」の方向でrがその「半径」になります。
この関係から媒介変数θを消去して「半径」を求める式が得られます。
r=ab/√{a^2(sinφ)^2+b^2(cosφ)^2}   (∵r=acosθ/cosφ, cosθ=b/√{b^2+a^2(tanφ)^2} )
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
No.4のMB4808さまの式と合わせて、計算結果は同じになる事を確認しました。

飲み込みが悪くて恐縮ですが、冒頭の
(acosθ,bsinθ)=(rcosφ,rsinφ)
の式で、θはこの場合、何を示す変数でしょうか?

お礼日時:2011/11/25 09:22

30°方向の半径を出すのに


#1の方の回答の式のθに30°を代入するとおかしなことになります。
逆三角関数が必要になります。
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この回答へのお礼

ご指摘ありがとうございます。

お礼日時:2011/11/25 09:16

長軸方向を0°として、


x = a・cosθ
y = b・sinθ

r^2 = x^2 + y^2

ですね。
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この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございました。
参考にさせて頂きます。

お礼日時:2011/11/25 09:15

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|OP| = a √(1 - (1 - b^2/a^2)(sinθ)^2 )
   = a √(1 - (e sinθ)^2 )
と書くこともできます。

> R = a ( 1 - e cosθ) は、楕円の焦点からの半径でしょうか?
その通りです。例えば、衛星が楕円軌道で地球の周りを回っているとき、地球は楕円の焦点の位置にあります。で、一般的に動径というと、地球(楕円の焦点)から衛星(楕円上の1点)までの距離を言うのだと思います。

> 角度をθでの楕円の中心からの半径を知りたいのですが困ってます。
前の回答の繰り返しになりますが、楕円の長軸と短軸の交点を座標原点 O、長軸を x 軸、短軸を y 軸にとります。
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ですが,これは初等関数では表現できません.
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ですね。

同様に、楕円の回転体も球を変形させただけですから、
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角度30°で等角図をかくと円は楕円となってあらわれます。
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簡単に菱形に内接する楕円をかくことができます。
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参考URL:http://www.shaku8.com/seika/tsubushi1.htm

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・このとき横線に乗った位置に釘を打ちます。この場合横40cmの位置に来るはずです。
・反対側にも同様に釘を打ちます。
・2本の釘の間の紐の長さは長径と同じです。ただし輪にするためには釘の間の距離分だけ余分に必要です。


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