
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
ご質問の趣旨は、添付した図のように楕円の中心が原点Oと、楕円の長軸・短軸がx軸・y軸とそれぞれ一致するように座標軸をとり、原点を通りx軸となす角がθの直線と楕円の交点をP、QとするときOPの長さを求めたいというように理解してよろしいでしょうか。
ここでは長軸とx軸が一致するような横長の楕円を考えてみました。(グラフはa=3,b=2でθ=30度の場合です)
楕円の式は (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 …(1)ただしa>b
原点を通りx軸となす角がθの直線の式は、θ=が90度の奇数倍のときを除いて
y=xtanθ …(2)
(2)を(1)へ代入してx^2,y^2についてとくと(以下tan^2θは(tanθ)^2の意味です)
x^2=a^2b^2/(a^2tan^2θ+b^2)
y^2=a^2b^2tan^2θ/(a^2tan^2θ+b^2)
したがって求める楕円の半径(?)OPは
OP=√(x^2+y^2)
=√(a^2b^2(1+tan^θ)/(a^2tan^2θ+b^2)
1+tan^2θ=1/cos^2θやtanθ=sinθ/cosθを代入して整理すれば
OP=ab/√(a^2sin^2θ+b^2cos^2θ) …(3)
θ=30度ならばOP=2ab/√(a^2+3b^2)
なおθが90度の奇数倍のときは直線の式の(2)は成り立ちませんが、
OPは楕円の短半径bとなり、OPの式(3)はこの場合も正しい結果を与えます。

No.6
- 回答日時:
ANo.3です。
>(acosθ,bsinθ)=(rcosφ,rsinφ)の式で、θはこの場合、何を示す変数でしょうか?
楕円上の点Q(acosθ,bsinθ)とします。
楕円を短軸方向にa/b倍に拡大すると半径aの円になりますが、点Qは円上の点P(acosθ,asinθ)に移動します。楕円の中心を点OとするとθはOPと長軸がなす角になります。
下記URLの(2)にこの関係を表した図がありますので、併せてご覧になるとよいと思います。
http://www.cfv21.com/math/quadcvparam.htm
No.4
- 回答日時:
中心を極として、長軸を0°、短軸を90°とする楕円の極方程式は
r=ab/√(b^2+(a^2-b^2)sin^2(t))
ただし、tは角度、 rは半径です。
回答ありがとうございます。
No.3のHar-mo-nizeさまの式とも併せ、計算結果が同じになることを確認しました。
おかげさまで作業が前に進んでおります。大変助かりました。
No.3
- 回答日時:
中心が原点にあって長軸がx軸上にある楕円上の点は、媒介変数を使って
(acosθ,bsinθ)=(rcosφ,rsinφ)
の2通りに表せます。このときφが求めたい「半径」の方向でrがその「半径」になります。
この関係から媒介変数θを消去して「半径」を求める式が得られます。
r=ab/√{a^2(sinφ)^2+b^2(cosφ)^2} (∵r=acosθ/cosφ, cosθ=b/√{b^2+a^2(tanφ)^2} )
回答ありがとうございます。
No.4のMB4808さまの式と合わせて、計算結果は同じになる事を確認しました。
飲み込みが悪くて恐縮ですが、冒頭の
(acosθ,bsinθ)=(rcosφ,rsinφ)
の式で、θはこの場合、何を示す変数でしょうか?
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